Bijection

[Kromy]

Bonsoir,

Je souhaite montrer que l'application x -> x.exp(x) est une bijection de [0;+infinie[ dans lui-même.
Est-ce que le fait de dire que la fonction x.exp(x) est continue et strictement croissante sur [0 ; + infinie[ suffit ?

Si oui, pouvez-vous me rappeler la propriété qui s'applique S.V.P ?
Merci.

[Nightmare]

Salut,

la continuité implique que la fonction va vérifier le théorème des valeurs intermédiaire, autrement dit que tout élément de l'image de [0,+oo[ aura au moins un antécédent. La stricte monotonie implique l'unicité de l'antécédent. Donc ça suffit pour dire que ta fonction est bijective sur [0,+oo[. Par contre, l'énoncé dit qu'il faut montrer que c'est une bijection de [0,+oo[ dans lui même, il reste donc à montrer que l'image de [0,+oo[ par notre fonction est bien lui même. Rien de difficile en évaluant les limites en 0 et +oo.

[Eti_N]

Merci pour cette réponse.

J'ai juste une question supplémentaire :
en notant g l'application réciproque de f, existe-il une relation entre lim(f) et lim(g) (en + l'infinie par exemple) ?
Peut-on dire que lim(f) = lim(g) ?

Merci.

[busard_des_roseaux]

bah vi, dans des espaces vectoriels normés complets E et F

continue entraine continue


donc

entraine



Grosso modo, les boules ouvertes du produit cartésien donne des ouverts
par projection sur chaque ensemble. Il me semble que la raison
est que les projections sont des applications ouvertes