éQuaTion De cauChy

[stevi]

salut

je viens d'attaquer quelques equations fonctionnelles et je vois que l'équation de cauchy est une célébre équation pouvez vous trouver toutes les solutions de cette équation


equation de cauchy: f(x+y)= f(x) + f(y)

[dibeteriou]

De toute façon, il te manque une condition sur pour conclure (on verra ça après).

Essaye de déterminer pour puis .

[stevi]

@dibeteriou;

vraiment je cherche les sol R --> R

[dibeteriou]

Oui, et déterminer sa restriction à est le début de la solution

[Olympus]

Il faut que "f" soit continue pour que tu puisses passer de Q vers R avec les limites .

Si tu veux, tu peux regarder le théorème de l'équation fonctionnelle des homothéties du paragraphe "Caractérisation séquentielle de la continuité" sur le cours de la continuité présent ici : http://http://bkristof.free.fr/ ( attention, y a toute la solution dedans ) .

[benekire2]

A ce sujet, quelqu'un pourrait-il me construire une application non continue vérifiant f(x+y)=f(x)+f(y) et qui soit dense dans R² ,

Enfin, dans un autre thread on est arrivé a en construire une non linéaire mais je sais absolument pas si elle est dense dans R² ...

Merci !!

[MathMoiCa]

A ce sujet, quelqu'un pourrait-il me construire une application non continue vérifiant f(x+y)=f(x)+f(y) et qui soit dense dans R²

Euh... Le concept d'application/fonction dense dans un espace existe ? :hein:


M.

[Nightmare]

MathMoiCa > Surement parle-t-il du graphe de l'application.

[MathMoiCa]

C'est mieux :ptdr:


M.

[MathMoiCa]

Sinon, ce lien donne une réponse à benekire.


M.

[Doraki]

Le graphe de f est un sous-Q-espace vectoriel de R².
Son adhérence est un sous-R-espace vectoriel de R², donc
soit c'est une droite, soit c'est R², soit c'est {0}.

Et donc soit f est continue et c'est une droite, soit f n'est pas continue et c'est R².

[benekire2]

Merci pour vos réponses, et oui je parlais du graphe de l'application ; :we:

[ppcrepin]

Solution dans N :
il faudrait faire un raisonnement en analyse synthèse et une récurrence que je ne ferrai pas mais voici l'ébauche :

soit n élément de N,
on a

f(n) = f(n-1) + f(1)
f(n) = f(n-2) + f(2)
...
f(n) = f(n-k) + f(k)

or f(n-1) = f(n-2) + f(1)

donc

f(n) = f(n-2) + f(1) + (f1)
...
f(n) = f(n-k) + k*f(1)

donc

f(n) = n*f(1)

il faudrait maintenant vérifier que la fonction f considérée est bien solution par récurrence sur n en sachant que f(0) = f(0+0) = f(0) + f(0) = 0

solution dans Z :

f(0) = f(n-n) = f(n) + f(-n) = 0 donc f(-n) = -f(n)
donc f est impaire