Inéquation

[Slack]

Voila, je me retrouve bloqué sur une inéquation et je ne vois pas comment continuer:

( Le V signifie racine carré):

V(x² - x + 20) > x

Apres avoir trouvé le domaine de l'inéquation : D = ]- infini ; -4 [ U ]5 ; +infini[
je ne sais plus quoi faire pour continuer...

[Zuh]

Et si tu élevais les deux membres de chaque côté au carré ? :D

[Dinozzo13]

Que se passe-t-il si x[/U]0 ?
Tu peux ensuite élever au carré.

[Dinozzo13]

:hum: il y a un problème également dans le domaine, x²-x+20>0, .
Ce domaine aurait été vrai si on avait eu x²-x-20 sous le radical :++:
Tu as peut-être fait une erreur de signe en recopiant l'énoncé ?

[Slack]

Effectivement c'est -20 et non +20.

[Slack]

Si j'élève au carré les membres:
je me retrouve avec : (V(x² - x - 20))² > x²
soit x² - x - 20 > x²
soit -x - 20 > 0
soit x < 20 (sauf si je me trompe, chose probable)
or avec x < 20 ce n'est verifié que pour x = ]-infini ; -4[
Et mon flair me dit qu'il y a une belle petite embrouille sous cela...

[Dinozzo13]

Ok, donc c'est -20 :++:

Déjà si x<0 comme je te l'ai conseillé que peux-tu dire ?

[Dinozzo13]

Petit coup de pouce :
x0 et -x>0 par conséquent x²-x+20>0
Que peux-tu alors dire de lorsque x<0 ?

[Slack]

Oui mais c'est -20 et non +20 car pour +20 l'inéquation est verifié sur ]-infini ; 0 [ vu que le premier sera tjr positif et l'autre negatif mais pas avec -20.
Donc si je pige bien la solution (pour -20) c'est ]-infini ; x² -x > 20[

[Slack]

Ok donc si je me plante pas cette fois ci l'inequation est juste pour x = ] -infini ; -4 [

[Slack]

Petit coup de pouce :
x0 et -x>0 par conséquent x²-x+20>0
Que peux-tu alors dire de lorsque x<0 ?

Cela ne marche que pour +20 et non -20

[Dinozzo13]

Non, si est vrérifiée sur .
Donc si x<0 alors

Si alors tu peux élever au carré

[Slack]

La je comprend pas ..... Car en plus pour la premiere supposition comment l'expliquer en le posant sur le papier?

[Dinozzo13]

hé bien on étudie les solutions suivant le membre qui n'est pas sous la racine : "x"

Tu peux rédiger comme cela :

Si xx[/TEX] est vérifiée pour car tu aura toujours sous la racine quelque chose de positif et de négatif au membre de droite, Donc

Ensuite, tu traites le cas en élévant au carré.
C'est un peu comme résoudre une équation de la forme où on veut que or dans une inéquation, on envisage les deux cas :

[Slack]

en mettant au carré je tombe sur x < 20 donc techniquement pour x >0 c'est S= ] 5 ; 20 [ ou je me trompe
sauf que cela est impossible car sur 0 ; +inf x est tjr superieur a la racine en question

[Dinozzo13]

Je tombe sur x< -20 moi

[Slack]

Ouh con, oui c'est moi, erreur de signe (je passe de x +20 < 0 a x < 20 .....)
donc en gros S= ]- inf ; -4 [ ca change rien .

[Dinozzo13]

Or x doit être positif dans l'hypotèse () donc :
et
Or il n'existe pas un tel réel donc

[Dinozzo13]

Salut !

Je suis conscient que tout ceci échappe un peu à ta compréhension, je vais donc synthétiser un peu tout ça pour que tout sois plus clair pour toi :++:

On veut résoudre :

1°) Cette inéquation est définie si et seulement si :

Pour cela on résous , , donc ou .
Or d'après le cours sur le signe du trinôme du second degré, le coefficient des termes en x² étant strictment positif .

2°) Ensuite, on étudie le signe du deuxième membre de l'inéquation ()
- Si xx[/TEX] est toujours vrai car et , c'est-à-dire, , alors quelque soit x, on peut donc élever au carré :


Donc

3°) En conclusion :

C'est bon là ?

[Slack]

Merci bien, Clair comme de l'eau d'source