Petit pb de mecanique

[Adam Pierson]

c'est un petit exo de licence de math de l'option mécanique:
on cherche la courbe d'equilibre d'un fil pesant,de densité gamma et de longeur L,posé sur un plan incliné d'angle pi/6 par rapport au vecteur de gravité g.
si vous savez le resoudre merci de me le faire savoir

[Quidam]

Cela s'appelle une chaînette. L'équation est du style y=a ch(k(x-x0)). On retrouve ce type d'équation en examinant les forces qui s'appliquent sur un petit élément de longueur dx : ça donne une équation différentielle et l'on tombe sur ch ! Les constantes a,k, et x0 sont déterminées par les conditions aux limites. Le détail, je ne m'en souviens pas bien, mais ce n'est pas très difficile ! Essaie déjà de le faire !

[elladan]

Je vais faire un raisonnement sans l'inclination du plan pour simplifier la compréhension. Il n'y aura qu'à adapter le raisonnement.

Je prends des axes x et y orthogonaux dans le plan de la corde tels que la tangeante du point minimal soit selon ex (ce qui veut dire que y(l/2)=ymin et x(l/2)=0)
Si j'applique le PFD à un tronçon de corde entre les points 1 et 2 et que je projette, j'obtiens :
T2 cos (alpha 2) - T1 cos (alpha 1) = 0
T2 sin (alpha 2) - T1 sin (alpha 1) + m12 g = 0
(avec T1 et T2 les tensions du fil en 1 et en 2)

on a donc T cos (alpha) = constante = T0 (tension au point (0,l/2))
donc, en réinjectant dans la deuxième équation et en prenant 2 proche de 1 :
T0 ( d(tan (alpha)))=m/l * ds * g (s abscisse curviligne)

or tan(alpha)=dy/dx
et ds = (1+(dy/dx)^2)^(1/2)

donc d²y/dx² = K (1+(dy/dx)^2)^(1/2)
dont une solution est le cosinus hyperbolique