Decomposition elements simples
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Decomposition elements simples
par christ1989 » 21 Aoû 2010, 00:13
Je voudrais decomposer en elements simples ((x^2+1)/(((x-1)^4)*(x^3+1)))
par Djmaxgamer » 21 Aoû 2010, 01:21
1) A la vue du degré de cette fonction rationnelle, que peut tu dire du reste de la décomposition ?
Rappel : le reste de la décomposition en éléments simples est le reste de la division euclidienne polynomiale du numérateur par le dénominateur.
2) Quel sont les pôles de cette fraction rationnelle ? I.e. quelles sont les racines de^4 \times (x^3+1))
?
Pour décomposer une fraction rationnelle dans
on peut tout d'abord la décomposer dans 
. Donc, vu que tu n'a pas précisé, je me contenterais de la faire dans , le résultat dans s'obtenant facilement (réunion des pôles conjugués pour obtenir des polynômes du second degré à 
)
Donc tu obtiendras 7 pôles comptées avec leur ordre de multiplicité (4 pôles distinctes, l'un d'entre eux étant d'ordre 4).
Indice : deux d'entre eux seront des réels purs, les deux autres des complexes conjugés
On note (je ne vais pas te les dévoiler)
les deux pôles réels, 
étant le pôle d'ordre 4 et 
les deux pôles conjugués
Tu peux écrire :
^4 \times (x^3+1)} = \frac{\lambda_1}{x-r_1} + \frac{\lambda_2}{(x-r_1)^2} + \frac{\lambda_3}{(x-r_1)^3} + \frac{\lambda_4}{(x-r_1)^4} + \frac{\lambda_5}{x-r_2} + \frac{\lambda_6}{x-\omega} + \frac{\lambda_7}{x-\overline{\omega}} + R(x))
avec R(x) le reste (et non je ne dévoilerais rien :p) et  \in \mathbb{R}^7)
(et non dans 
en utilisant le fait que la fonction rationnelle est à coefficients réels, i.e. 
)
Pour la détermination de ces coefficients, tu multiplies l'égalité ci-dessus par
où 
puis tu substitue y à x. (tu peux aussi trouver des relations entre les lambda en utilisant certaines propriétés de la fraction rationnelle, cela t'éviteras les quatre substitutions)
Pour
tu fait la même chose avec ^4)
Pour
tu peux utiliser le fait que ^4 \times (x^3+1)} \times \frac{1}{x} \times (x-r_1) = 0)
Tu peux ensuite faire la méthode du développement limité, que je ne vais pas préciser.
Si ta décomposition est dans, il ne reste plus rien à faire :
^4 \times (x^3+1)} = \frac{\lambda_1}{x-r_1} + \frac{\lambda_2}{(x-r_1)^2} + \frac{\lambda_3}{(x-r_1)^3} + \frac{\lambda_4}{(x-r_1)^4} + \frac{\lambda_5}{x-r_2} + \frac{\lambda_6 \times (x-\overline{\omega}) + \lambda_7 \times (x-\omega)}{(x-\omega) \times (x-\overline{\omega})} + R(x))
Soit :
^4 \times (x^3+1)} = \frac{\lambda_1}{x-r_1} + \frac{\lambda_2}{(x-r_1)^2} + \frac{\lambda_3}{(x-r_1)^3} + \frac{\lambda_4}{(x-r_1)^4} + \frac{\lambda_5}{x-r_2} + \frac{(\lambda_6 + \lambda_7) \times x - (\lambda_6 + \lambda_7) \times Re(\omega)}{x^2-2 \times Re(\omega) + |\omega|^2} + R(x))
(une certaine égalité entre les lambda pourra justifier cette dernière égalité, en utilisant une des propriétés de la fonction rationnelle)
Cette décomposition sera donc bien dans
PS : j'ai établi la méthode "de tête" sans avoir essayé : je vais le faire (demain) j'apporterais des modifications si jamais je vois un point maladroit.
Rappel : le reste de la décomposition en éléments simples est le reste de la division euclidienne polynomiale du numérateur par le dénominateur.
2) Quel sont les pôles de cette fraction rationnelle ? I.e. quelles sont les racines de
Pour décomposer une fraction rationnelle dans
Donc tu obtiendras 7 pôles comptées avec leur ordre de multiplicité (4 pôles distinctes, l'un d'entre eux étant d'ordre 4).
Indice : deux d'entre eux seront des réels purs, les deux autres des complexes conjugés
On note (je ne vais pas te les dévoiler)
Tu peux écrire :
Pour la détermination de ces coefficients, tu multiplies l'égalité ci-dessus par
Pour
Pour
Tu peux ensuite faire la méthode du développement limité, que je ne vais pas préciser.
Si ta décomposition est dans
Soit :
Cette décomposition sera donc bien dans
PS : j'ai établi la méthode "de tête" sans avoir essayé : je vais le faire (demain) j'apporterais des modifications si jamais je vois un point maladroit.
par Djmaxgamer » 21 Aoû 2010, 13:12
Je viens de le faire et ça marche. C'est assez calculatoire mais ça marche.
par Djmaxgamer » 21 Aoû 2010, 13:46
Ericovitchi a écrit:
Oui mais je pense qu'il veut le trouver de lui même
par Finrod » 21 Aoû 2010, 13:58
On ne donne pas de réponse comme cela éric.
Cela dit l'exo est calculatoire donc, en partant du principe que christ 1989 est né en 1989 et à donc 21 ans, il est conscient du fait que la réponse est là juste à titre indicatif, pour déterminer s'il a fait une erreur ou non.
Connaitre la méthode étant le seul interêt de l'exo.
Donc je ne modère pas.
Cela dit l'exo est calculatoire donc, en partant du principe que christ 1989 est né en 1989 et à donc 21 ans, il est conscient du fait que la réponse est là juste à titre indicatif, pour déterminer s'il a fait une erreur ou non.
Connaitre la méthode étant le seul interêt de l'exo.
Donc je ne modère pas.
par Ericovitchi » 21 Aoû 2010, 14:14
oui OK. Effectivement, je n'ai mis la réponse que pour qu'il puisse vérifier ses calculs puisque il avait dit qu'il venait de le faire et que ça marchait.
par Djmaxgamer » 21 Aoû 2010, 15:20
Ericovitchi a écrit:oui OK. Effectivement, je n'ai mis la réponse que pour qu'il puisse vérifier ses calculs puisque il avait dit qu'il venait de le faire et que ça marchait.
Ah ok mais non ce n'est pas lui qui l'a dit c'est moi : je n'avais pas testé quand je lui ai donné la méthode ; j'ai juste confirmé que la méthode que je lui ai donnée marche. Christ1989 n'a pas (encore) répondu
Finrod a écrit:On ne donne pas de réponse comme cela éric.
Cela dit l'exo est calculatoire donc, en partant du principe que christ 1989 est né en 1989 et à donc 21 ans, il est conscient du fait que la réponse est là juste à titre indicatif, pour déterminer s'il a fait une erreur ou non.
Connaitre la méthode étant le seul interêt de l'exo.
Donc je ne modère pas.
Le maître a parlé :rulaiz:
par Finrod » 21 Aoû 2010, 21:34
Ericovitchi a écrit:oui OK. Effectivement, je n'ai mis la réponse que pour qu'il puisse vérifier ses calculs puisque il avait dit qu'il venait de le faire et que ça marchait.
Je me disais aussi. ok.
Djmaxgamer a écrit:Le maître a parlé
Mais ça va la dedans !?
Tu a oublié de te prosterner en scandant des prières à la gloire de la modération du forum.
Tu me feras 20 "je vous salue Pythagore" avant d'aller au lit.
par Djmaxgamer » 21 Aoû 2010, 22:08
Finrod a écrit:Mais ça va la dedans !?
Tu a oublié de te prosterner en scandant des prières à la gloire de la modération du forum.
Tu me feras 20 "je vous salue Pythagore" avant d'aller au lit.
Tu rigole mais j'ai cherché un émoticone qui se prosterne, n'ayant pas trouvé j'ai opté pour celui la, moins respectueux, mais bon :technicol
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