Produit de sinus

[arthur.27]

Bonjour,

Je cherche à prouver que , ayant posé , mais je suis à cours d'idées.

J'ai tenté d'utiliser la comparaison entre moyenne géométrique et moyenne arithmétique en écrivant que , mais la somme des carrés des sinus n'est pas beaucoup plus commode...

Auriez-vous d'autres pistes? Merci!

[dibeteriou]

Bonjour
à compléter :id:
edit: hum, j'ai parlé un peu vite je crois, l'astuce marche quand il y a des cos...

[arthur.27]

Merci pour ta réponse rapide.

J'ai également pensé à cela, mais cette méthode qui marche bien pour réduire un produit du même genre en cosinus bloque assez vite pour les sinus, non?

On arrive à .

On peut certes recommencer, mais on aura une pléiade de cosinus à la fin...

[mathelot]

Auriez-vous d'autres pistes? Merci!

oui, c'est un grand classique . ce produit est multiplicativement télescopique

utiliser

récursivement pour calculer



pardon, j'avais pas vû que c'était moins trivial.réfléchissons :hum:

[Doraki]

haha moi aussi j'me suis dit "mais il faut multiplier par cos(x) ... ah mince ..."

On peut commencer par dire que pour tout x, la suite sin(2^n * x) passe une infinité de fois dans l'intervalle [sin(-pi/4) ; sin(pi/4)].

[Doraki]

On peut commencer par dire que pour tout x, la suite (sin(2^n*x)) passe une infinité de fois dans [-1/2 ; 1/2].

(en fait on a même que soit elle finit par alterner entre 1/2 et -1/2 soit elle passe une infinité de fois dans [sin(-pi/4) ; sin(pi/4)] )

[dibeteriou]

Visiblement, on est tous tombés dans le panneau (ça me rassure un peu :-))

[mathelot]

posons

1er cas
si q est un dyadique de la forme
la suite est nulle à partir d'un certain rang
2ème cas
si q est irrationnel, la suite exp(i2^nx) tourne "furieusement",
d'orbite dense sur U,
et l'orbite de est dense dans [-1;1]
3ème cas
si q est rationnel, il admet en base 2 un développement dyadique périodique
et la suite est périodique d'orbite finie discrète

voilà ce que j'écrirai a-priori

PS:c'est le genre de choses étudiées par Adrien Douady (cf. doublement de l'arc)

[arthur.27]

Merci Mathelot, c'est intéressant cette vision des choses, et cela résout mon problème. J'avais plutôt cherché dans la direction d'une majoration générale...

Et si on me donne la fonction à étudier, il semble bien que sa norme infinie soit négligeable devant n. Une idée pour l'affirmer?

[Doraki]

On a pas besoin de faire une majoration générale, vu que la suite (|fn|) est une suite décroissante de fonctions sur R/piZ (compact), qui tend simplement vers 0.
Normalement on peut montrer que ça tend uniformément vers 0.

[arthur.27]

Oui, la somme des carrés de sinus diverge probablement de temps en temps. Mais je cherchais "juste" à prouver que sa norme infinie restait négligeable devant n.

[mathelot]

Oui, la somme des carrés de sinus diverge probablement de temps en temps. Mais je cherchais "juste" à prouver que sa norme infinie restait négligeable devant n.

re,

ce n'est pas sûr.. faut-il linéariser le en ?

ou faire une intégration sur un compact ? par exemple
je me souviens plus des relations entre norme L1 et norme infinie sur un compact..
en règle générale , les intégrations par parties améliorent nettement la convergence et après p-e une suite convergente dans le Banach L1
donnera une sous-suite convergente dans L ????

[girdav]

Si on pose , on a
.
Comme on obtient que .

[mathelot]

je me demandai

le développement dyadique de certains nombres célèbres (,etc.) n'est pas bien connu..
posons par exemple

si l'on arrivait à relier une masse de Dirac en
(forme linéaire) avec une intégrale sur un compact pourrait obtenir des renseignements sur ces développements ?

par exemple, sur celui de en base 2 ?

ce qui reviendrait , somme toute, à utiliser ces sommes de carrés de sinus
comme d'un noyau.
Est-ce que ces intégrales , sur un tout petit compact K= donnent une idée du passage sur le compact K, sur l'orbite (x fixé,k variant) des termes de la suite indicée par k ?

[arthur.27]

Merci beaucoup à tous.
Vous m'avez remis les idées en place...