Somme des diviseurs d'un nombre

[Gagbill]

Bonjour, je souhaiterai avoir la démonstration de la formule de la somme des diviseurs d'un nombre entier.
En effet si on note s(n) la somme d'un entier n dont la décomposition en facteur premier est , on a : .
C'est de ce produit dont j'aimerai obtenir la déduction logique, soit d'un lien, d'un document ou pourquoi pas de vos connaissances. Merci

[dibeteriou]

Bonjour.
Tu peux chercher dans la direction des fonctions arithmétiques multiplicatives.

On démontre (en particulier par convolution) que la fonction dont tu parles est multiplicative, c'est à dire que si et sont premiers entre eux, .
Ensuite on calcule simplement pour en déduire

edit: correction de la grosse erreur.

[Gagbill]

Tu peux chercher dans la direction des fonctions arithmétiques multiplicatives.

En effet, je vois maintenant que c'est la meilleure façon de démontrer cela. Thanks :ptdr:

si et sont premiers entre eux, .

Par contre, je pense ici que que c'est plutôt si et sont premiers entre eux, alors Bref, voici la démonstration que j'ai concocté en suivant ton indication:
Montrons que est une fonction multiplicative:

• (1 n'ayant qu'un diviseur, lui-même)
• Montrons que avec
  Par définition,
  Considérons et respectivement l'application identique (ex:) et la fonction arithmétique constante égale à 1 (ex:), on a: produit de convolution
  
  Par conséquent: (i)
  Soit tels que ; on a:
  
  Or et étant premier entre eux, 1 est leur seul diviseur commun; ainsi , avec et
  D'où
  
  
  D'après la relation (i):
  [center]Conclusion: est une fonction multiplicative[/center]

Déduisons

De ce qui précède,
En s'intéressant en particulier , on a:
Soit D l'ensemble des diviseurs de ; ainsi:
{}
De manière analogue, on trouve l'ensemble des diviseurs de
Donc

CONCLUSION: avec

Voilà, n'hésitez pas à m'indiquer tout erreur, amélioration, astuce ou encore critique sur cette démonstration.
Cordialement et encore merci

[dibeteriou]

Merci pour la correction
C'est tout à fait la preuve classique. La convolution est un bon moyen d'obtenir des fonctions multiplicatives :we:
Il doit y avoir simplement une coquille à la dernière ligne, au niveau des puissances ( au lieu de ).

[Gagbill]

Il doit y avoir simplement une coquille à la dernière ligne, au niveau des puissances ( au lieu de ).

Tout à fait, manque de justesse niveau Latex :briques: . Bien aurevoir et encore merci :we:

[girdav]

Bonjour,
on peut aussi obtenir la formule en bourinant : la donnée d'un diviseur correspond à celle d'un élément de .
En notant la somme des diviseurs de par , on a :

la dernière égalité s'obtenant en regroupant les sommes (c'est une généralisation de la formule pour et finis).

[benekire2]

Bonjour,
on peut aussi obtenir la formule en bourinant : la donnée d'un diviseur correspond à celle d'un élément de .
En notant la somme des diviseurs de par , on a :

la dernière égalité s'obtenant en regroupant les sommes (c'est une généralisation de la formule pour et finis).

Salut girdav !

C'est cette preuve qui figure dans les bouquins de TS ( datant d'il y a quelques années) en version bien plus romancée bien sûr

[Gagbill]

Bonjour,
on peut aussi obtenir la formule en bourinant : la donnée d'un diviseur correspond à celle d'un élément de .
En notant la somme des diviseurs de par , on a :

la dernière égalité s'obtenant en regroupant les sommes (c'est une généralisation de la formule pour et finis).

Salut, je prends note aussi de cette démonstration, semble-t-elle, plus courte et astucieuse.
Merci