Matrices

[Mister Red]

Bonjour à tous, j'aurais besoin de votre aide sur un exercice composé de matrice.
Voici la fonction f : R3[X] -> R3[X]
P(X) -> P'(X)+XP(1)

f est un endomorphisme.
Sa matrice est :
0 1 0 0
1 1 3 1
0 0 0 3
0 0 0 0


Déterminer le rang de cette matrice et une base de Imf.

Le rang je crois que c'est 3 si je ne me trompe pas mais je ne sais pas vraiment le démontrer. Et pour la base de l'image, comment dois-je procéder s'il vous plait ?

[girdav]

Bonjour,
il faut revenir à la définition du rang : dimension de l'espace vectoriel engendré par les lignes (ou les colonnes). On a donc

(en enlevant successivement le vecteur ligne et colonne qui est linéairement dépendant des autres ou nul).
Il est facile de voir que le rang de la dernière matrice est (tu peux calculer le déterminant).

[Mister Red]

Si je calcule le déterminant, j'aurais quelle information sur le rang ?

[Nightmare]

Si je calcule le déterminant, j'aurais quelle information sur le rang ?

Salut,

si le déterminant est non nul, ta matrice est inversible, donc son rang vaut...

Sinon, le rang d'une matrice est égal à l'ordre de la plus grande sous-matrice carrée inversible de ta matrice. A démontrer !

[Nightmare]

Si le déterminant de ta matrice est nul, alors les colonnes/lignes sont linéairement liées, sinon non !

Oui, mais ça ne répond pas à la question que j'ai posée :lol3:

[Nightmare]

oups, au temps pour moi, je croyais que Mister Red était toi :lol3:

[Mister Red]

Merci à tous,

j'ai donc calculer le déterminant de la matrice :

0 1 0
1 1 1
0 0 3

Il est évident qu'il vaut 3.

Pouvez-vous m'aider pour la base de Im(f) s'il vous plait ?

[girdav]

Le déterminant de la matrice que tu cites vaut (mais peut importe, tant qu'il est non nul).
En ce qui concerne l'image, tu sais qu'elle est engendrée par les vecteurs colonne de ta matrice. Le problème est que, en général, cette famille est seulement génératrice, mais pas toujours libre.
Comme le troisième vecteur vaut 3 fois le premier, l'espace engendré reste le même si on le retire. Il reste donc trois vecteurs et comme la matrice est de rang trois.

[Mister Red]

Ok donc on supprime la colonne 3. Il nous reste la matrice

0 1 0
1 1 1
0 0 3
0 0 0


Je pense qu'on peut supprimer la dernière ligne également non ?

[girdav]

Non, il faut tout de même garder des vecteurs à quatre coordonnées.

[Mister Red]

Ok donc si on passe en vecteurs
On a :

C1=e2
C2=e1 + e2
C3=3.e2
C4=e2 + 3.e3

C'est bien ça ?

[girdav]

En fait, tu as déjà écrit une base de l'image dans le message #11 de la discussion. Et on n'a pas le droit de supprimer la dernière ligne.
Dans le message #13, tu ne fais qu'écrire les vecteurs colonne de la matrice en fonction de ceux de la base canonique, mais ceci ne répond pas à la question.

[Mister Red]

Oui mais une base c'est bien un ensemble de vecteurs non ? Comment fais-je pour trouver la base dans la matrice ? Elle correspond aux colonnes ?

[Nightmare]

Si tu as trouvé une famille libre maximale de vecteur de l'image, elle forme une base de cette dernière. Attention cela dit au vocabulaire, dans une base, on a quand même une notion d'ordre.

[Mister Red]

Donc la base serait (e2;e1+e2;e2+e3) ?

[Mister Red]

C'est cela ?

[girdav]

Je suis d'accord : c'est une base mais il y a en a "plein". C'est pour cela qu'il est impropre de parler de la base, à moins bien sûr de fixer une condition sur celle-ci.
D'ailleurs, je viens de revenir sur le premier message où il est question de polynômes : il serait préférable d'écrire une base avec des polynômes.

[Mister Red]

Oui bien sur en polynomes, une base serait donc (X;1+X;X+X²).

Cette base est de dimension 3 n'est-ce pas ?

Car on me demande ensuite la dimension de ker(f).

Si la dimension de l'Im(f) est 3, comme la dimension de l'espace est 3, alors la dimension de ker est 0 ? Petit souci