Séries : S(u) et S(v) convergent, quid S(uv) ?
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nathanap
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par nathanap » 13 Aoû 2010, 18:20
Bonjour,
Voici un exercice sur les séries qui ne semble pas classé parmi les exercices difficiles de mon cours et que je n'arrive pas à faire (honte à moi) :
On considère deux suites complexes u et v. On suppose que les séries S(u) et S(v) de termes généraux u et v convergent, que dire de la suite de terme général u*v ?
Je n'arrive à une solution que quand les deux suites sont réelles positives ... Alors S(u*v) converge : dans ce cas la suite (S(u)S(v)) est supérieure à S(u*v) pour tout n puisqu'on retrouve les termes de la somme S(u*v) dans le produit S(u)S(v) et comme S(u)S(v) converge et que S(u*v) est croissante c'est bon .. Mais bon c'est pas génial comme résultat ...
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girdav
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par girdav » 13 Aoû 2010, 18:24
On ne peut pas toujours conclure la convergence. Par exemple, avec
les séries de terme général
et
convergent, mais
.
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nathanap
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par nathanap » 13 Aoû 2010, 18:29
Merci ! En effet j'ai bêtement cru qu'il fallait chercher à prouver qu'elle convergeait au lieu de chercher un contre exemple ...
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Dihtbscii
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par Dihtbscii » 13 Aoû 2010, 18:41
Non mais il ne faut pas confondre la suite uv et la série. Pour la suite uv il y a bien un résultat évident; la suite converge vers 0. Pour la série il n'y a rien à dire.
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Nightmare
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par Nightmare » 13 Aoû 2010, 19:49
Salut,
on a convergence de la série produit par exemple lorsque les deux séries sont absolument convergente. Sinon, dans le cas général, on ne peut rien dire, comme le démontre si bien Girdav.
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girdav
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par girdav » 14 Aoû 2010, 12:59
Cependant, si les séries de terme général
et
convergent alors par l'inégalité
on déduit l'absolue convergence la série de terme général
.
Mais ceci est une condition suffisante, et non nécessaire.
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dibeteriou
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par dibeteriou » 17 Aoû 2010, 14:48
Bonjour à tous :)
Il suffit en fait de S(u) absolument convergente et v bornée pour avoir la convergence absolue de S(uv).
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girdav
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par girdav » 17 Aoû 2010, 17:55
Si la série des
ou celle des
converge absolument alors on peut déduire que la série de terme général
converge absolument (puisque par exemple si
, on a par les hypothèses initiales que
donc la suite
est bornée par exemple par
donc
).
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