Distribution d'espérance maximale

[ToToR_2000]

Bonjour à tous,

Je vous expose le petit problème qui me chagrine.

Soit une variable aléatoire réelle pour tout telle que : .
On note et on suppose p.s.
On suppose aussi que le max est atteint en un unique indice.
De plus, on a aussi: avec ainsi que p.s.
Enfin, dernière propriété: .

Mon but est de trouver (pour chaque j) la distribution de probabilités de qui rende maximale.

Je vous donne un exemple pour plus de clarté.
Si n=1, alors seule la variable presque sûrement égale à 1 convient (donc pas le choix)
Si n=2, alors équivaut à (en utilisant aussi les propriétés mentionnées plus haut). Pour maximiser l'espérance de , on prend sa distribution de probabilités telle que: et ce qui donne .

Je cherche à faire cette majoration de dans le cas général mais je sèche pour l'instant. Je remercie ceux qui voudront bien m'aider.

[Ben314]

Je comprend pas trop :
1) Pour n=2, tu dit que tu prend et .
Mais, dans ce cas, tu n'as pas p.s. .
2) Tes variables aléatoires tu veux qu'elles soient indépendantes ou non ?
-> Si oui, la condition va drastiquement limiter les possibilités
-> Si non, il faudrait que, dans le cas n=2, tu donne non seulement les lois de X1 et X2 mais surtout celle du couple (X1,X2).

[ToToR_2000]

Merci de ta réponse.

Effectivement, je me suis trompé pour le cas n=2. Si on prend pour une distribution d'espérance maximale, alors forcément, la distribution de sera d'espérance minimale puisque:


Donc pour , il faut prendre:
et

En ce qui concerne l'indépendance des variables , elles ne le sont pas (compte tenu du problème d'où vient cette question de maths). Et même si j'en faisais l'hypothèse, avec la relation , on aurait de toute façon au mieux "n-1 degrés de liberté".

Pour ta remarque sur les lois, je ne la comprends pas trop puisque les lois des variables, c'est justement à moi de les choisir de façon judicieuse pour maximiser l'espérance d'un des , les autres étant à fixer de façon à respecter les contraintes et à permettre à l'espérance de d'être maximisée (oui j'ai changé l'objectif par rapport à hier puisque ta remarque m'a montré que maximiser tout le monde à la fois ne marche pas).

L'objectif est donc de trouver pour un fixé, la borne sup de dans le cas où n est quelconque.


p.s: les sont des variables à densité donc leur proba en 1 point est forcément nulle, mais c'est un abus de langage: il faut plutôt voir comme avec delta aussi petit que l'on veux.