Dse

[Mike_51]

Bonjour,
Lorsque dans un problème, il est demandé de prouver qu'une fonction est développable en série entière, quelles peuvent être les méthodes possibles à part de l'exprimer en fonction de développements en séries entières usuels?
Merci.

[sept-épées]

Si c'est une fonction d'une variable complexe, il suffit qu'elle soit dérivable (au sens complexe, i.e. holomorphe) autour du point incriminé.

[elladan]

Pour montrer qu'une fonction est développable en série entière, il faut vérifier 3 conditions :
- que la fonction soit infiniment dérivable (on a alors directement les coefficients de la série entière candidate à partir des dérivées n-ièmes)
- que la série converge
- qu'on ait égalité entre la série entière et la fonction sur un intervalle

C'est cette dernière condition qui est la plus difficile à vérifier
Soit on peut s'en tirer en manipulant des DSE de fonctions usuelles (en faisant attention aux rayons de convergence)
Soit on fait ça avec les mains (genre, du taylor)