Jeu sur un disque.

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Doraki
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Jeu sur un disque.

par Doraki » 23 Juil 2010, 11:31

Deux joueurs, (D) et (P) jouent à un jeu sur un disque (ouvert).
(P) commence par choisir un point p dans le disque.
Puis, à tour de rôle,
(D) choisit une droite d qui passe par le point p choisi par (P), puis
(P) rechoisit un point p dans le disque, qui est sur la droite d choisie par (D).

Ils forment ainsi une suite infinie de points (p0, p1, p2, ..., pn, ...)

(D) gagne si la suite obtenue est convergente.
(P) gagne sinon.

Le joueur (D) est paresseux et se dit que pour coincer (P), si le point P choisi n'est pas le centre O du disque (auquel cas son choix n'a pas d'importance), il va toujours choisir la droite qui forcera P a éloigner son point par rapport au centre du disque (la droite passant par P et orthogonale à (OP)).

(P) peut-il gagner ?



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Ben314
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par Ben314 » 23 Juil 2010, 14:24

Si je me suis pas gourré, la réponse est OUI.
Il suffit qu'il place le point Pn à une distance du centre égale à 1-1/(n+1)^a avec 0<a<1 fixé (bien sûr en tournant toujours dans le même sens)
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nodjim
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par nodjim » 23 Juil 2010, 16:47

J'avoue ne pas comprendre le problème: Une suite de points convergente ?

Doraki
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par Doraki » 23 Juil 2010, 20:53

Ben : ça doit marcher.

nodjim : une suite de points (xn,yn) est convergente <=> les suites (xn) et (yn) sont convergentes.
Par exemple, si (P) choisit toujours le même point p, sa suite converge vers p et donc il perd.

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Ben314
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par Ben314 » 23 Juil 2010, 20:58

Doraki a écrit:Par exemple, si (P) choisit toujours le même point p, sa suite converge vers p et donc il perd.
Par contre, il me semble que ce n'est pas la stratégie optimale... :marteau:

P.S. Une petite "indic" pour nodjim s'il veut chercher : vu le contexte, il vaut mieux utiliser des coordonnées polaires.
De plus, modulo
(a) que la suite de point Pn ne tende pas vers le point O:(0,0)
(b) que l'on choisisse les arguments "convenablement" (...),
la suite de point Pn converge ssi les modules et les arguments convergent.
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Doraki
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par Doraki » 23 Juil 2010, 21:03

J'crois qu'il peut difficilement en choisir une pire =)

nodjim
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par nodjim » 23 Juil 2010, 21:26

Si je comprends bien, P doit s'arranger pour tracer une spirale aussi fine que possible ?

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Ben314
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par Ben314 » 23 Juil 2010, 22:03

nodjim a écrit:Si je comprends bien, P doit s'arranger pour tracer une spirale aussi fine que possible ?
Oui, c'est ça l'idée (en tout cas c'est comme ça que j'ai fait).
Comme il est obligé d'augmenter le module à chaque fois (vu le choix de la droite prise par (D)) et que le module ne peut dépasser le rayon du cercle, les modules convergent forcément.
Le but est de montrer qu (P)l peut se débrouiller pour que les arguments ne convergent pas...
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par ffpower » 23 Juil 2010, 23:30

Maintenant la question naturelle est donc : quid si D ne se la joue plus flemmard? P a t il une stratégie gagnante quelque soit ce que joue D? Au vu de ce qui a été fait, j'aurait envie de dire oui, mais l'argument de ben ne marche plus aussi bien. D peut s'il le veut à tout moment bloquer l'accroissement de l'argument plutot que de controler le module. Faut donc cette fois jouer sur les 2 facettes module/argument selon se que joue D.

Doraki
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par Doraki » 24 Juil 2010, 18:02

ffpower a écrit:P a t il une stratégie gagnante quelque soit ce que joue D?

La réponse est non, (D a une stratégie gagnante) mais j'ai pas la preuve.

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Ben314
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par Ben314 » 24 Juil 2010, 20:56

Doraki a écrit:La réponse est non, (D a une stratégie gagnante) mais j'ai pas la preuve.
Perso, j'hésitait entre deux "intuitions" :

(a) En "penchant" un peu la droite qu'il choisi (D) peut "obliger" (P) à changer de sens car s'il tourne dans le même sens, il n'a plus assez de marge pour que l'argument tende vers l'infini (je pense que ceux qui ont un peu regardé le problème comprennent ce que je veut dire par là...)

(b) Mais, lorsque (D) penche la droite qu'il choisi, il donne l'oportunité à (P) de faire diminuer le module...

A mon avis, il faudrait commencer par évaluer à partir de quel angle (par rapport à la perpendiculaire au rayon) (P) n'a plus assez de marge de maneuvre pour faire augmenter le module indéfiniement s'il persiste à tourner dans le même sens.
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