Xy+yz+zx=x+y+z

[Olympus]

Bonjour !

Souvent aux inégalités, on peut homogénéiser en employant des substitutions, qui différent selon l'exercice, permettant de ramener tout au degré 0 ( ou plus si on élimine les dénominateurs ) .

Voici ma précieuse liste de substitutions :we: ( x;y;z sont bien entendu strictement positifs, dans ces subsitutions, je donne juste x, les y et z en seront déduis par permutations cycliques des variables a; b et c ) :

*

*

*

*

*

*

* ( bon celle-ci n'est pas vraiment une substitution, mais un des réflexes à avoir dès qu'on a des 1+x² )

Mais y a un problème : je ne connais pas de substitution pour xy+yz+zx=x+y+z ... Si quelqu'un connait, merci de partager :we:

Aussi, n'hésitez pas de partager vos substitutions :++:

[poiuytreza]

C'est peut-être pas très "scientifique", mais on doit aussi pouvoir trouver des trucs intéressants en essayant des substitutions au pif et en regardant à quelles conditions elles peuvent correspondre.

Pour x+y+z = xy+yz+zx, on pose , et .
ça donne donc , ce qui permet de faire un changement de variable trigonométrique...

[Olympus]

Merci !

Ceci donne donc : ( et ses cycliques ), où sont les angles d'un triangle .

[poiuytreza]

Oui, sauf que dans ta formule, il faut remplacer par
Après on peut faire mieux (enfin, mieux, ça dépend de l'exo...) :, et sont les angles d'un triangle de côtés d, e et f. On pose d = u+v etc...
En fonction de u,v et w, on peut exprimer l'aire du triangle (formule de Héron), puis le rayon du cercle inscrit (S = rp) puis et enfin

Si je me suis pas trompé, on obtient l'horrible substitution suivante :


Si ça t'amuse, tu peux la réutiliser pour tes x,y et z... :briques:

[Olympus]

Oui, sauf que dans ta formule, il faut remplacer par

Euh je ne vois pas trop à quoi ça sert de remplacer par ( même si c'est correct ), car cela marche bien avec .

Après on peut faire mieux (enfin, mieux, ça dépend de l'exo...) :, et sont les angles d'un triangle de côtés d, e et f. On pose d = u+v etc...
En fonction de u,v et w, on peut exprimer l'aire du triangle (formule de Héron), puis le rayon du cercle inscrit (S = rp) puis et enfin

Si je me suis pas trompé, on obtient l'horrible substitution suivante :


Si ça t'amuse, tu peux la réutiliser pour tes x,y et z... :briques:

Cool, très moche :bad: , mais ça permet en effet de remplacer les x;y;z par des trucs de degré 0 Sinon, pas besoin de Héron et tout ça, Al-Kashi suffit pour trouver les cos en fonction des côtés, puis jouer avec les formules de l'angle double et hop on aura ( et en utilisant la formule de l'angle double, on obtient effectivement , qui est la tienne à une permutation cyclique près ^^ ( on doit pas avoir utilisé les mêmes côtés ) ) .

Pis personnellement, c'est moins moche avec les :zen:

[poiuytreza]

Ah oui, en fait t'as raison ça marche aussi avec , désolé.