Diamètre surface

[The Void]

Bonjour,

Si le diamètre d'une surface (i.e longueur maximale d'un plus court chemin (inclus dans la surface) entre 2 points quelconques de la surface) dans R^3 est d, est il possible de majorer l'aire de cette surface? (par ex. par Pi*d²/4).

NB: surface dans le sens: variété topologique de dimension 2, mais je peux me restreindre à des surfaces plus régulière si c'est nécessaire.

[Ben314]

Non : ta surface peut être aussi grande que l'on veut : pense à la longueur du graphe de [0,2.pi]->R ; t->a.sin(nt) où a est un réel>0 et n un trés grand entier.

[The Void]

Non : ta surface peut être aussi grande que l'on veut : pense à la longueur du graphe de [0,2.pi]->R ; t->a.sin(nt) où a est un réel>0 et n un trés grand entier.

Mais dans ce cas, le diamètre sera très grand aussi.
Et je parlais de surface, [0,2.pi]->R ; t->a.sin(nt) est une courbe.

[Ben314]

Pour ta première affirmation, non, le diamètre ne sera pas trés grand : la graphe de [0,2.pi]->R ; t->a.sin(nt) est contenu dans le rectangle
[0,2pi]x[-a,a] alors que, lorsque n->oo, la longueur de la courbe tend vers +oo.

Partant de cette courbe, tu obtient une surface en rajoutant simplement une dimension : [0,1]x[0,2.pi]->R^3 ; (s,t)->(x=t , y=a.sin(nt) , z=s) est bien la paramétrisation d'une surface dont l'aire est trés exactement égale à la longueur de la courbe [0,2.pi]->R^2 ; t->(x=t , y=a.sin(nt)) donc peut être rendue aussi grande que l'on veut en prenant n assez grand alors que le diamètre reste borné vu que la surface est contenue dans le parrallélépipède rectangle [0,2pi]x[-a,a]x[0,1].

Cela correspond à une "tôle ondulée" dont la longueur des ondes est trés trés faible : il faut une énorme quantité de tôle "plate" pour faire un tout petit morceau de cette "tôle ondulée"

[The Void]

Pour ta première affirmation, non, le diamètre ne sera pas trés grand : la graphe de [0,2.pi]->R ; t->a.sin(nt) est contenu dans le rectangle
[0,2pi]x[-a,a] alors que, lorsque n->oo, la longueur de la courbe tend vers +oo.

On a pas la même définition de diamètre: relis mon premier message.
(définition similaire à: http://fr.wikipedia.org/wiki/Diam%C3%A8tre_(th%C3%A9orie_des_graphes))

[Ben314]

Ah, OK.
Dans ce cas là, je pense que ça ne marche pas non plus : En prenant une surface de courbure trés grande strictement négative en tout point tu as des disques (au sens géodésique du terme) de trés faible rayon mais ayant une trés grande surface...
A vérifier...

[Ben314]

Tient, en réfléchissant un peu, j'ai plus simple (même idée que la tôle ondulée)

Tu prend n² pyramides à base carrée de coté 1/n x 1/n et de hauteur 1 (=> surface de chaque pyramide un peu supérieure à 2/n).
Tu les met côte à côte pour que les bases forment un carré de 1x1.
La surface totale est supérieure à n²x2/n=2n.
Pour aller d'un point quelconque de la surface à un autre, tu descend au pied de la pyramide du premier point (distance au max légèrement supérieure à 1), puis tu va au pied de la pyramide du 2em point en suivant le quadrillage, c'est à dire en restant au niveau du sol (distance au max égale à 1+1) puis tu monte sur cette pyramide pour rejoindre le 2em point (distance au max légèrement supérieure à 1) : total au max légèrement supérieur à 4.

La même idée en version "plus lisse" : tu prend le graphe de la fonction
[0,2pi]²->R ; (x,y)->sin(nx).sin(ny)

[The Void]

D'accord, merci!