équation trigonométrique

[spyrolex]

bonjour, soit l'équation tan 2x = (tan Pi/2 -x)

dans mon livre la solution est :
<=> 2x = Pi/2 - x +k Pi
<=> 3x = Pi/2 + k Pi
<=> {x = Pi/6 + k Pi/3 (k E Z}

de mon coté j'avais écris

2x = Pi/2 - x + 2k Pi OU 2x = 3Pi/2 - x + 2k Pi (car tangeante de 2 angles antisupplémentaires est la meme)

<=> 3x = Pi/2 + 2k Pi OU 3x = 3Pi/2 + 2k Pi

{x = Pi/6 + 2/3k Pi
{x = 3Pi/6 + 2/3k Pi

il s'avère qu'en dessinant les solution sur le cercle j'arrive effectivement aux mêmes... ma question est donc, comment raisonner pour écrire comme la solution proposée ?

[spyrolex]

en fait je pense que je viens de comprendre que c'est un truc qu'on peut écrire avec les tangeantes et les cotangeantes seulement :p

[Black Jack]

bonjour, soit l'équation tan 2x = (tan Pi/2 -x)

dans mon livre la solution est :
2x = Pi/2 - x +k Pi
3x = Pi/2 + k Pi
{x = Pi/6 + k Pi/3 (k E Z}

de mon coté j'avais écris

2x = Pi/2 - x + 2k Pi OU 2x = 3Pi/2 - x + 2k Pi (car tangeante de 2 angles antisupplémentaires est la meme)

3x = Pi/2 + 2k Pi OU 3x = 3Pi/2 + 2k Pi

{x = Pi/6 + 2/3k Pi
{x = 3Pi/6 + 2/3k Pi

il s'avère qu'en dessinant les solution sur le cercle j'arrive effectivement aux mêmes... ma question est donc, comment raisonner pour écrire comme la solution proposée ?

Attention d'employer correctement les parenthèses ...

tan(2x) = tan(Pi/2 -x)

Et comme la fonction tangente est Pi périodique et monotone sur ]-Pi/2 ; Pi/2[, on a immédiatement :

2x = Pi/2 - x + k.Pi (avec k dans Z)
...

:zen: