Un Sangaku, problème destiné à une divinité japonaise

[Zweig]

Bonjour,

J'ai hésité à le poster dans la partie énigme ...

Soit un polygone convexe à côtés inscrit dans un cercle. On choisit une triangulation du polygone et on trace les cercles inscrits dans chacun des triangles obtenus. Montrer que la somme des rayons des cercles inscrits est indépendante de la triangulation choisie, pour fixé.

Exemple :

[Despo]

J'ai presque reussi a montrer pour un quadrilatere mais aprés faut faire une recurrence nan?Y'as pas moyen de faire autrement si on sait pas faire de recurrence?

[benekire2]

Salut, j'ai pas réfléchis beaucoup, mais je pense qu'avec le fait que le rayon du cercle circonscrit s'exprime en fonction de l'aire du triangle et des longueurs des côtés on doit s'en sortir. ..

[Zweig]

Despo > Il existe différente manière de démontrer cette propriété. Ton idée est bonne, il faut pour cela utiliser le théorème de Ptolémée.

[Imod]

Avec un alexandrin :we:

Il semble que le théorème de l'ami Carnot
Expédie la chose en trois coup d'cuillère à pot

Imod

[Zweig]

C'est la solution que j'attendais en effet :we:

[Ben314]

Pour n=3, ton truc signifie donc que le rayon du cercle inscrit dans un triangle ne dépend que du rayon du cercle circonscrit.... :hein:

[Despo]

Quelqu'un peut mettre la solution svp?

[Ben314]

Le "théorème japonais" de Carnot : à démonter (pas super dur) puis à utiliser (pas super dur non plus)

[Zweig]

Pour la récurrence : http://www-cabri.imag.fr/abracadabri/GeoPlane/Cocyclik/CocyDis6.htm