Géométrie seconde

[sofy.]

Bonjour, j'ai un exercice à faire et je n'y arrive pas,est-ce que vous pourriez m'aidez merci Sophie



exercice:Le quadrilatère ABCD est inscrit dans le cercle C de centre O.I,J,K,L sont les milieux des cotés.
On trace d1,d2,d3,d4 droites issues des points I,J,K,L et perpendiculaires aux cotés opposés.
1)tracer:c'est la seule chose que j'ai réussi à faire!
2)montrer que IJKL est un parallélogramme, son centre est noté P.
2)Que peut on dire des médiatrices des 4 cotés du quadrilatère ABCD.

[yvelines78]

bonjour,

1) utilise le théorème de la droite des milieus dans les triangles ABD et BCD :
on démontre que (LI)//(BD) et LI=BD/2 et que (JK)//(BD) et JK=BD/2

donc (IJ)//(LI) et LI=JK et IJKL est un parallèlogramme

à quoi servent les droites d1, d2, d3 et d4 ?: elles semblent concourantes en un même point

les médiatrices des segments[IJ], [JK], [KL], et [LI] semblent concourantes en un même point

(d3) perpen (AB) donc (d3)// médiatrice de [AB]
de même (d2)//médiatrice de [AD], (d2)// médiatrice de [AD], et (d1)//médiatrice de [DC]


je ne comprends pas la finalité de l'exercice!!!! y a t'il d'autres questions?

[juliette1]

non il n'y a pas d'autres questions, et les points i,j,k,l se trouvent sur les droites d1,d2,d3,d4 qui se coupent en un même point.
merci de votre aide

[rene38]

Bonjour
On peut aussi montrer que IJKL est un parallélogramme en utilisant les vecteurs.

3)Que peut on dire des médiatrices des 4 cotés du quadrilatère ABCD.

Elles sont évidemment concourantes en O :
O, centre du cercle circonscrit à ABCD, est équidistant de A, B, C et D ;
O équidistant de A et B donc O est sur la médiatrice de [AB]
O équidistant de B et C donc O est sur la médiatrice de [BC]
.....

Si on considère la symétrie de centre P,
sans oublier que
- l'image d'une droite par une symétrie centrale est une droite parallèle,
- P est le centre du parallélogramme IJKL
On cherche les symétriques de I, J, K, L puis de (d1), (d2), (d3) et (d4) et enfin de O.
On prouve ainsi que (d1), (d2), (d3) et (d4) sont concourantes en un point qui est le symétrique de O par rapport à P.

Petit détail : [IJ] et [KL], côtés opposés du parallélogramme IJKL, sont parallèles. Leurs médiatrices sont donc également parallèles (éventuellement confondues).

[sofy.]

Je vous remercie pour votre aide! :we: