Racines n-èmes de l'unité

[Olympus]

Bonjour !

Je bloque un petit peu pour prouver un résultat très connu :

.

J'ai bien sûr pensé au résultat qui dit qu'un polynôme de degré admet toujours racines complexes , et peut ainsi être réécrit comme où est le coefficient de , donc une simple application suffirait comme les racines de l'unité sont justement les racines du polynôme .

Mais je ne suis pas sûr que ce résultat soit admis au lycée ...

J'ai ensuite cherché une autre preuve, et j'en ai trouvé une qui parle de polynômes cyclotomiques ... pas vraiment niveau lycée aussi .

J'ai essayé la récurrence mais cela ne marche pas vraiment .

N'y aurait-il vraiment pas une preuve niveau lycée ?

Voici où j'en suis sinon :

On remarque que pour tout :

.

Donc pour jusqu'à :



...
...
...



On multiplie, puis on aura :




Il suffira donc de montrer que :



Mais là, je bloque xD .

Quelqu'un pourrait m'aider s'il vous plaît ?

Merci !

[mathelot]

Bonjour,

évidemment, le polynôme a n racines distinctes et se factorise
(par d'Alembert -Gauss)

pour une démo niveau TS, on peut penser que les coefficients
du polynôme sont les différentes fonctions symétriques

Etant donné que les racines appartiennent à un groupe multiplicatif cyclique
(le polygone régulier à n cotés) ces fonctions symétriques, intuitivement, donneront toutes des sommes de progression géométrique de raison une racine primitive n-ième, génératrice de ce groupe cyclique ?

[Zweig]

Une manière de faire serait de passer par les relations de Viète (qui peuvent se démontrer par récurrence).

[Ben314]

Je comprend pas vraiment ou est le problème, même au niveau Lycée...
Il me semble que c'est tout ce qu'il y a de plus niveau Lycée de constater que, si est une racine (réelle ou complexe) du polynôme P alors on peut factoriser dans P :

Preuve (pour montrer qu'il n'y quasi rien à savoir et pas gras à écrire) :
Si est un polynôme alors est aussi un polynôme (il suffit de développer) et le fait que montre que donc est sans terme constant et on peut donc factoriser dans : où est un polynôme.
On a donc où, évidement, est un polynôme.

Bon, maintenant, si on part du , et qu'on pose avec , il est clair que les sont distincts et vérifient .
Cela prouve que l'on peut factoriser dans P :
Sauf que, comme et sont de même degrés , le polynôme Q doit être de degré 0 (i.e. constant).
Et, comme le terme dominant de P est et que celui de est aussi , cette constante ne peut être que 1.

[Olympus]

Ha effectivement, c'est de niveau lycée . Merci BenPi :we:

[Despo]

Sinon un bon pdf(recueil d'exos) de zweig la dessus:https://docs.google.com/fileview?id=0B-85nfHD_dCCZGUwNWMzNzctMTNhNS00NzM1LThiMDMtNTUxMzhjZWRkYTk0&hl=en

[benekire2]

Et oui tu t'es sacrément pris la tête alors qu'il suffisait de voir que a gauche les racines étaient ... les racines de l'unité et à droite que les racines étaient ... les racines de l'unité :zen: