Espace Lp

[Cam12]

Bonjour,

Je bloque sur la définition d'un espace .
Par exemple dans mon cours, j'ai est l'ev quotient où V est l'ev des fonctions qui appartiennent à de norme nulle : .

Je n'arrive pas à me représenter les éléments de cet espace quotient....

[girdav]

Bonjour,
d'abord une question qui me turlupine : d'habitude on note l'espace des fonction donc la puissance -ième de la valeur absolue de est intégrable et justement l'espace quotient que tu énonces.
Je suppose que tu as vu que la relation presque partout est une relation d'équivalence.
Ici, en partie pour rendre la semi-norme sur une vrai norme sur (on prend la norme d'un représentant de la classe d'équivalence), il faut que le seul élément de qui soit de norme nulle soit en fait l'ensemble des fonctions qui sont nulles presque partout.

[Cam12]

Merci pour ta réponse et désolée pour les notations.
Donc si f est un élément de , les éléments de sont toutes les fonctions égales a f presque partout, c'est bien ça?

Autre question, si on demande de montrer qu'une fonction est dans , il suffit de montrer qu'elle est dans ?

[Nightmare]

Salut,

plusieurs choses :

1) Comme il te l'a été dit, on quotiente par la relation "être égal presque partout". Cela dépend donc de la signification de presque partout et donc de la mesure (et plus globalement de l'espace mesuré) dont on munit l'espace de départ, même si généralement il s'agit de la mesure de Lebesgue.

2) Les éléments du quotient ne sont donc pas des fonctions à proprement parler mais des classes de fonctions, chaque classe contenant les fonctions égales presque partout.

[Cam12]

ok merci, je ne suis pas du tout à l'aise avec ces nouvelles notions.
J'ai une autre question....
si je prends f dans et un représentant de sa classe d'équivalence dans je voudrais comprendre en quoi est normé, on veut démontrer que si alors , je n'y arrive pas....

[Cam12]

Je me réponds à moi même, je pense avoir compris, en fait si ça signifie que presque partout et donc bah c'est la classe du zéro dans et donc c'est fini^^.