Famille libre indénombrable.
Réponses à toutes vos questions après le Bac (Fac, Prépa, etc.)
-
Doraki
- Habitué(e)
- Messages: 5021
- Enregistré le: 20 Aoû 2008, 13:07
-
par Doraki » 05 Juil 2010, 23:12
On admet que e est transcendant.
1) Montrez qu'il existe une séquence d'entiers (an) telle que toute combinaison linéaire infinie à coefficients entiers, bornés, et non tous nuls, de {e^-an} est non nulle
2) Montrez qu'il existe un ensemble X de parties infinies de N, indénombrable, tel que pour tous I,J de X, l'intersection de I et J est finie.
3) En déduire que la famille indénombrable
est libre sur Q.
-
ffpower
- Membre Complexe
- Messages: 2542
- Enregistré le: 13 Déc 2007, 06:25
-
par ffpower » 06 Juil 2010, 00:16
Question con mais je préfère être sur pour pas partir sur du HS :
Libre=Libre sur Q?
-
Ben314
- Le Ben
- Messages: 21482
- Enregistré le: 11 Nov 2009, 23:53
-
par Ben314 » 06 Juil 2010, 00:25
Je comprend pas trop l'énoncé :
Vu la définition des
, n'a t'on pas forcément
?
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
-
Doraki
- Habitué(e)
- Messages: 5021
- Enregistré le: 20 Aoû 2008, 13:07
-
par Doraki » 06 Juil 2010, 10:49
Ah oui tiens comment j'ai pu ne pas m'en rendre compte.
C'est pas grave il faut juste une autre petite question intermédiaire.
-
windows7
- Membre Rationnel
- Messages: 548
- Enregistré le: 18 Juin 2010, 13:00
-
par windows7 » 06 Juil 2010, 12:32
on doit avoir an -> +infini
on remarque aussi que pour tout k dans IN on ne peut pas avoir an = o(n^k)
ce qui permet de penser a un certain an :zen:
tu m'as deja posé la 2) en privé donc je ne vais pas tricher ..
-
Ben314
- Le Ben
- Messages: 21482
- Enregistré le: 11 Nov 2009, 23:53
-
par Ben314 » 07 Juil 2010, 09:19
Pour la question 1), les coeff. des "combinaisons linéaires infinie", clairement, ils sont pas dans R (sinon, ça marche pas) mais ils sont dans Z (cas dans lequel j'entrevois une méthode) ou dans Q (cas dans lequel j'entrevois pas gras...) ?
Pour la 2), je propose d'associer à tout réel
l'ensemble
(où
désigne la partie entière de
)
Il est clair que
est infini et que, si
alors
est fini.
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
-
Doraki
- Habitué(e)
- Messages: 5021
- Enregistré le: 20 Aoû 2008, 13:07
-
par Doraki » 07 Juil 2010, 09:53
Ils sont dans Z, pardon.
Dans R ça marche clairement pas, et dans Q..., avec un nombre fini de coefficients distincts, c'est la même chose que dans Z, mais avec une infinité de coefficients distincts, je sais pas.
-
Ben314
- Le Ben
- Messages: 21482
- Enregistré le: 11 Nov 2009, 23:53
-
par Ben314 » 07 Juil 2010, 10:57
Dans ce cas, pour le 1), je verrais bien une construction par recurrence :
On prend par exemple
puis, pour
, si
sont construit, on considère le minimum
des
lorsque
décrit l'ensemble
fini privé de
.
Comme
est trancendant,
et on peut donc choisir un
tel que
.
Sauf erreur, ça marche...
La déduction du 3) est alors assez évidente...
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
-
Doraki
- Habitué(e)
- Messages: 5021
- Enregistré le: 20 Aoû 2008, 13:07
-
par Doraki » 07 Juil 2010, 11:20
je suis pas sûr que e^-an < en/n soit une contrainte suffisante, vu que le produit des (1-1/n) tend vers 0.
Sinon le reste marche bien, et oui le 3 est là juste pour la conclusion.
-
Ben314
- Le Ben
- Messages: 21482
- Enregistré le: 11 Nov 2009, 23:53
-
par Ben314 » 07 Juil 2010, 12:40
Bon, esssayons de rédiger...
On a
et
tels que
soient non tous nuls.
Sauf erreur,
par définition de
et, comme
On en déduit que
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
Utilisateurs parcourant ce forum : Aucun utilisateur enregistré et 44 invités