Famille libre indénombrable.

par **Doraki** » 05 Juil 2010, 21:12

On admet que e est transcendant.

1) Montrez qu'il existe une séquence d'entiers (an) telle que toute combinaison linéaire infinie à coefficients entiers, bornés, et non tous nuls, de {e^-an} est non nulle

2) Montrez qu'il existe un ensemble X de parties infinies de N, indénombrable, tel que pour tous I,J de X, l'intersection de I et J est finie.

3) En déduire que la famille indénombrable

est libre sur Q.

par **ffpower** » 05 Juil 2010, 22:16

Question con mais je préfère être sur pour pas partir sur du HS :
Libre=Libre sur Q?

par **Ben314** » 05 Juil 2010, 22:25

Je comprend pas trop l'énoncé :
Vu la définition des

, n'a t'on pas forcément

?

par **Doraki** » 06 Juil 2010, 08:49

Ah oui tiens comment j'ai pu ne pas m'en rendre compte.
C'est pas grave il faut juste une autre petite question intermédiaire.

par **windows7** » 06 Juil 2010, 10:32

on doit avoir an -> +infini

on remarque aussi que pour tout k dans IN on ne peut pas avoir an = o(n^k)

ce qui permet de penser a un certain an :zen:

tu m'as deja posé la 2) en privé donc je ne vais pas tricher ..

par **Ben314** » 07 Juil 2010, 07:19

Pour la question 1), les coeff. des "combinaisons linéaires infinie", clairement, ils sont pas dans R (sinon, ça marche pas) mais ils sont dans Z (cas dans lequel j'entrevois une méthode) ou dans Q (cas dans lequel j'entrevois pas gras...) ?

Pour la 2), je propose d'associer à tout réel

l'ensemble

(où

désigne la partie entière de

)
Il est clair que

est infini et que, si

alors

est fini.

par **Doraki** » 07 Juil 2010, 07:53

Ils sont dans Z, pardon.
Dans R ça marche clairement pas, et dans Q..., avec un nombre fini de coefficients distincts, c'est la même chose que dans Z, mais avec une infinité de coefficients distincts, je sais pas.

par **Ben314** » 07 Juil 2010, 08:57

Dans ce cas, pour le 1), je verrais bien une construction par recurrence :
On prend par exemple

puis, pour

, si

sont construit, on considère le minimum

des

lorsque

décrit l'ensemble fini

privé de

.
Comme

est trancendant,

et on peut donc choisir un

tel que

.
Sauf erreur, ça marche...

La déduction du 3) est alors assez évidente...

par **Doraki** » 07 Juil 2010, 09:20

je suis pas sûr que e^-an < en/n soit une contrainte suffisante, vu que le produit des (1-1/n) tend vers 0.

Sinon le reste marche bien, et oui le 3 est là juste pour la conclusion.

par **Ben314** » 07 Juil 2010, 10:40

Bon, esssayons de rédiger...
On a

et

tels que

soient non tous nuls.
Sauf erreur,

par définition de

et, comme

On en déduit que

Famille libre indénombrable.

Famille libre indénombrable.

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