Démonstration de la non existence de surjection de E dans P(

[WokWok]

Salut à tous!

Je me demdandais si ma démonstration de la non existance de surjection de E dans P(E) était correcte (elle ne se base pas sur la partie ).

Soit f une surjection de E dans P(E), elle est définie par:
,
ainsi, on déduis que (puisque dans le cas ou l'existence est unique on obtient une bijection avec E = F).

Or, (puisque au moins ), COntradiction, donc f n'est pas une surjection. CQFD


Est-ce juste?

Merci!

[Nightmare]

Salut,

qui est F ?

[benekire2]

Je pense qu'il a voulu marquer F=P(E)

[benekire2]

Sinon, ta démo à l'air juste, Puisque comme tu suppose la surjection alors P(E) inclus dans E et comme E est strictement inclus dans P(E) alors on en déduit P(E) strictement inclus dans P(E) ce qui est faux.

Toutefois, l'argument diagonal est tout simplement magnifique...

[Nightmare]

Dans ce cas, je ne vois pas pourquoi il déduit .

[WokWok]

Oui oui, c'est bien F = P(E) (j'avais commencé en notant F)

[Nightmare]

Ta démo est incorrecte, rien ne justifie ce , qui est d'ailleurs très incohérent...

[WokWok]

Un surjection envoie toujours un ensemble de cardinal plus important dans un autre non (de cardinal moins important) non? Puisqu'il existe au moins une solution à y = f(x), cela implique qu'il existe au moins autant d'éléments dans E que dans F (l'égalité étant une bijection.)

[benekire2]

Toutes mes excuses, j'ai dit n'importe quoi. Tu peut simplement dire que si E est fini alors avec l'application supposée surjective f:E-->P(E) alors on a c'est tout, et pas d'inclusion.
Encore désolé :marteau:

[Doraki]

Quand tu dis "f définie par ...", ça veut dire "f est une surjection donc f vérifie ..." ?

Quand tu dis "P(E) inclus dans E", ça veut dire qu'il y a une injection g qui va de P(E) dans E (qui, elle, vérifie, pour tout y de P(E), f(g(y)) = y)

Et après ? c'est quoi la contradiction ? C'est quoi ton inclusion/injection de E dans P(E) ?

[WokWok]

Je vais bien réecrire la démo^^

On veux montrer qu'il n'existe pas de surjection de E dans P(E). On raisonne par l'absurde:

Supposons qu'une telle surjection existe et notons la f. Ainsi, de la définition de la surjectivité on peut écrire:

Ainsi, on remarque que [TEX]card(P(E)) card (E) (puisque au minimum, P(E) contient l'ensemble vide, les singletons correspondants aux éléments de E et E lui même, soit un ensemble déjà plus grand que E).
D'où:
E appartient à P(E) ce qui est absurde puisque l'on à vu que à cause de la nature surjective de f, card(P(E)) <= card(E) ,
donc f ne peut pas exister.

[Nightmare]

Quel signification donnes-tu à Card(P(E)) < Card(E) lorsque E est infini?

[WokWok]

Qu'il est possible d'établir une injection de (P(E)) dans E.

[Doraki]

Or, nous savons que card (P(E) ) > card (E) (puisque au minimum, P(E) contient l'ensemble vide, les singletons correspondants aux éléments de E et E lui même, soit un ensemble déjà plus grand que E).

Ah, et c'est quoi la différence avec ça :

card(N) > Card(N*) car N = N* u {0} donc N est un ensemble plus grand que N*
card(N*)>=Card(N) car l'application f(x) = x+1 est une injection de N dans N*
Donc card(N) > card(N).

Enfin bon il faut que tu détailles tes définitions de "card(a) <= card(b)" et de "card(a) < card(b)", pour voir si "card(a) < card(a)" est contradictoire ou pas.

[WokWok]

Arf, je n'y avais pas pensé!

Mais j'ai le droit de parler d'ensemble 'plus grand'? (dans ce cas ma démo est plus simple à écrire).

Et existe t'il une définition de card(A) > card(B) pour A et B infinis?

[ffpower]

Oui, card(A)>card(B) si il existe une injection de B dans A mais qu'il n'existe pas d'injection de A dans B. Donc en utilisant les cardinaux, tout ce que tu risques de faire c'est tourner en rond, puisque le théoreme que tu essaies de prouver stipule justement grosso modo que card(P(E))>card(E)

[WokWok]

Mais puis-je parler d' 'ensemble plus gros' sans trop faire entorse à la rigueur mathématique?

[ffpower]

Si tu définis ce que signifie "plus gros" et que tu justifies qu'effectivement, l ensemble est plus gros, alors oui..