[DEFI] Une periode

[Finrod]

si l'on tombe deux fois sur le même chiffre, on obtient un développement périodique.

euh, c'est eput être la formulation mais là c'est douteux.

Genre , ça commence par 3,14159265, on retombe sur 1 au troisième coup, pourtant c'est pas périodique...


Enfin, ya encore un truc qui m'échape avec ces périodes. dans la preuve que j'ai voulu écrire plus haut, je trouve aussi que la période de 1/n est plus petite que 9.
ça à l'air vrai.

Mais du coup, je ne vois pas comment un rationnel peut avoir une période de 13 par ex...

Alors que, à la main, c'est facile à construire.

[manon_n]

Finrod, je n'arrive pas a vérifier que dans mn=10^p-1 p est une période de 1/n ...

[Finrod]

houlà non mais je suis fatigué là.

J'ai fait plusieurs confusions.

Je ne trouve pas que 1/n à une période pus petite que 9. p peut être qcq. Il y a toujours un truc qui m'échappe, mais ça concerne m.

Pour ta question manon,

Il faut écrire n= (1/m)(10^p-1) donc 1/n = m

et on a

[manon_n]

Pour ta question manon,

Il faut écrire n= (1/m)(10^p-1) donc 1/n = m

et on a

Je dois être pénible, mais qu'es-ce qui justifie que n= (1/m)(10^p-1) ??

Merci bien !

[Matt_01]

euh, c'est eput être la formulation mais là c'est douteux.

Genre , ça commence par 3,14159265, on retombe sur 1 au troisième coup, pourtant c'est pas périodique...


Enfin, ya encore un truc qui m'échape avec ces périodes. dans la preuve que j'ai voulu écrire plus haut, je trouve aussi que la période de 1/n est plus petite que 9.
ça à l'air vrai.

Mais du coup, je ne vois pas comment un rationnel peut avoir une période de 13 par ex...

Alors que, à la main, c'est facile à construire.

Euh dans mon message je parle du calcul décimal d'un rationnel, donc le calcul d'une division (et l'algorithme qu'on utilise en primaire).

[Finrod]

ok

ma preuve est incomplète. J'ai prouvé qu'il existe m tel que nm est congru à 9 modulo 10 mais c'est largement insuffisant pour avoir nm=10^p-1.

Bah j'essayais d'improviser.

exemple n=7 7x7 =49 est congru à 9 modulo 10 mais ne s'écrit pas comme on voudrait.

Je ne vois pas la preuve pour le moment.

edit : ok, je regarde l'algo.

[Finrod]

OK, si tu divises p par q, il y a un nombre fini de possibilité pour le reste (plus petit que q). Donc forcément si le dev est infini, il se reproduit périodiquement.

Il y a avait bien un argument tout bête, merci.

La période peut par contre être quelconque, pour en revenir à une question que tu posais.

[manon_n]

Ah, c'est bon j'ai vu pourquoi n pouvais s'écrire comme ça ..

Par contre pourquoi peut on montrer que p est une période :s ?

[Matt_01]

Par contre, le développement n'est périodique qu'à partir d'un certain rang.

[manon_n]

en fait j'aimerais mieux montrer que si p est une période de n alors 10^p-1=nm pour un certain entier m

Comment m'y prendre ?

Merci a vous !

[Ben314]

Si est une période de l'écriture décimale d'un quotient , cela signifie qu'il existe un entier k tel que ce qu'il y a aprés la virgule de (décalage de la virgule de k cases) est la même chose que ce qu'il y a aprés la virgule de .

Attention : n'est pas forcément égal à 0 car la période ne commence pas forcément au premier chiffre. Par exemple, 1/12=0.08333333...

Cela signifie que est en fait un nombre entier et on a donc .
Lorsque on a donc mais on ne peut en général pas se passer du comme le montre l'exemple de n=6 : 1/6=0,166666... a une période de 1 mais on n'a pas mais uniquement

Le but de l'exercice est justement de montrer que, si pgcd(n,10)=1 alors forcémént k=0...

[windows7]

finrod je te permet pas de m'interdire de faire une remarque ironique merci.

Oui voila manon doraki ta mis sur la piste avec ces divisions.
Merci ben et matt pour la correction, c'est a partir d'un certain rang bien entendu.

ps: finrod la periode est plus petite que n-1 ...

[benekire2]

Salut !

De mon côté j'ai cherché et je suis pas arrivé a grand chose hier, j'était partit sur le théorème de bezout, pour montrer que avec p une période 10^p=1 dans Z/nZ mais ça ne m'a pas amené bien loin :hein:

[windows7]

oui l'ordre de 10 dans Z/nZ *, tu l'as bien vu ;)

je voulais eviter d'en parler vu que c'est pas niveau term et on peut s'en passer

[benekire2]

Bah justement, l'ordre de 10 dans Z/nZ est la période de l'écriture décimale de 1/n sauf que j'ai pas pu le prouver.

Par contre, il semblerait que ce soit la voie de Doraki et de poser la division qui serait celle a privilégier, mais pour l'instant j'y vois pas encore assez clair ^^

[Ben314]

Bah justement, l'ordre de 10 dans Z/nZ est la période de l'écriture décimale de 1/n sauf que j'ai pas pu le prouver.

Par contre, il semblerait que ce soit la voie de Doraki et de poser la division qui serait celle a privilégier, mais pour l'instant j'y vois pas encore assez clair ^^

Je préciserait quand même que d'utiliser l'ordre (multiplicatif) de n dans Z/10Z, quand on a un bon bagage concernant le sujet, ça "plie" immédiatement l'exercice.
Par contre, en utilisant simplement "la méthode Doraki" consistant à bien comprendre la division vue au primaire, c'est un peu plus long, mais reste totalement accessible à tout Lycéen ayant fait un tout petit peu d'arithmétique et je pense que c'est quand même bien plus ça l'esprit des "défi" de la section Lycée !!!

[benekire2]

J'ai cherché une preuve avec l'ordre multiplicatif de 10 justement et j'ai pas trouvé, comment fallait-il procéder ?
Merci !

[Finrod]

Merci Ben. Je me disais bien que j'avais pas utilisé cette hypothèse.

Windows7, on demande de la courtoisie sur le forum.

Une remarque ironique sous entendant clairement que la réponse de Manon est stupide, c'est hors sujet.

ça tombe sous le coup du règlement car c'est inutile, vexant et malvenu envers quelqu'un qui vient essayer de parler avec toi et de s'intéresser aux problèmes que tu poses.

Maintenant, Manon ne s'est pas vexée, c'est un non évènement et il n'y a pas lieu d'épiloguer sur le sujet.

Par contre, une remarque revêche affirmant clairement que tu n'acceptes pas la modération pose problème.
La modération ne fait aucun excès de zèle, si tu ne lui fait pas confiance, souhaite contester ou réclamer des explications détaillées à chaque remarque, on ne pourra pas t'aider.


Après, tu veux dire que la periode de 1/n est plus petite que n-1 ?

Mais la période de p/q rationnelle peut être quelconque.

[Ben314]

Après, tu veux dire que la periode de 1/n est plus petite que n-1 ?

C'est un peu dur à voir niveau Lycée sans questions préliminaires, mais, vu que p est l'ordre (multiplicatif) de 10 dans Z/nZ, il divise l'ordre du groupe multiplicatif (Z/nZ)*, c'est à dire Phi(n) (indicatrice d'euler) donc, en particulier, il est =< à phi(n) lui même=< n-1 (il ne peut d'ailleurs y avoir égalité période=n-1 que si n est premier...)

[benekire2]

C'est un peu dur à voir niveau Lycée sans questions préliminaires, mais, vu que p est l'ordre (multiplicatif) de 10 dans Z/nZ, il divise l'ordre du groupe multiplicatif (Z/nZ)*, c'est à dire Phi(n) (indicatrice d'euler) donc, en particulier, il est =< à phi(n) lui même=< n-1 (il ne peut d'ailleurs y avoir égalité période=n-1 que si n est premier...)

J'ai le souvenir d'une exo magnifique sur les relations déquivalence/Théorème de lagrange là dessus ... :zen: