Matrice - Application aux suites

[Julien57160]

Bonjour,

J'ai un système de suites définies pas:

Un+1 = -7Un - 6vn
Vn+1 = 12Un + 10 Vn

1. Je dois transformer ce système sous forme matricielle, diagonaliser la matrice, Calculer An et en déduire Un et Vn

La matrice diagonale est
2 0
0 1

A^n =
-7^n -6^n
12^n 10^n

Donc Un = An* U0

Par contre la ou j'ai du mal c'est quand on demande pour qu'elles valeurs (U0, V0) les suites Un et Vn sont convergentes... ?

je dois ensuite calculer la lim en l'infini de ( U²n+1 + V²n+1 ) / ( U²n + V²n ) en utilisant les équivalences...
:cry:


Merci d'avance !

[Doraki]

Euh chez moi, A*A ça fait
-23 -18
36 28

et pas
-49 -36
144 100

[Ben314]

Salut,
Je comprend franchement pas ce que tu as fait...
"Transformer ce système sous forme matricielle", c'est tout simplement écrire le système sous la forme :
ce qui ne demande absolument aucun calculs.
On en déduit par réccurence que, pour tout entier , on a où est la fameuse matrice .
Enfin, si alors n'est absolument pas du tout égal à !!!!
C'est là qu'il faut diagonaliser (i.e. écrire avec diagonale)pour pouvoir évaluer simplement ...

[Julien57160]

oué c'est vrai
je comprend pas pourtant
A^n = P D^n P-1
et la je retombe sur la matrice de départ avec des exposants n...

[Doraki]

Que valent P, P-1, D², et A² ?

[Julien57160]

A =
-7 -6
12 10

P=
2 3
-3 -4

D=
2 0
0 1

P-1=
-4 -3
3 2


Franchement la je suis perdu ...

[Doraki]

et pour D*D, et pour P*(D*D), et pour P*(D*D)*P-1 = A*A ?

[egan]

J'ai fait cet exo cette année et je le conseille à ceux qui ne l'ont pas déjà vu. C'est un grand classique que j'ai trouvé assez sympa. Une jolie application des matrices. ;)

[Julien57160]

je comprend pas...
Doraki en effet je retombe bien sur AxA..;
pourtant

P x D^n =
4n 3 n
-6 n -4 n

?

PxDnxP-1=
-7n -6n
12n 10n

?

[Doraki]

J'ai pas compris.
Tu dis que P*D^n =
4^n 3^n
-6^n -4^n
?

Mais t'as calculé P*(D*D) ??

[Julien57160]

magnifique j'ai compris,
en fait c'est dans ma multiplication le problème...; quel boulet ! c'est ça d'arreter les études et de reprendre quelques années après... :we:

Bon par contre au niveau des valeurs de U0, V0 pour que les suites soient convergentes je vois tj pas... :cry:

[Doraki]

Ben maintenant que tu as corrigé, tu peux écrire les expressions de Un et Vn en fonction de n, U0 et V0 ?

[Julien57160]

Donc voila pour Un et Vn.

Un = -8.2n+9 -6.2n-9 U0
Vn = 12.2n-12 9.2n-8 V0

[Doraki]

Donc voila pour Un et Vn.

Un = -8.2n+9 -6.2n-9 U0
Vn = 12.2n-12 9.2n-8 V0

T'as un -9 à la place d'un +6

Normalement on a
Un = (-8*2^n+9)*U0 + (-6*2^n+6)*V0
Vn = (12*2^n-12)*U0 + (9*2^n-8)*V0.
(tu peux vérifier en prenant n=0 et n=1 qu'on a les bonnes relations).

Pour le reste y'a des moyens plus ou moins faciles de trouver quand (Un,Vn) converge.

On peut toujours expérimenter :
Si on prend au hasard U0 = V0 = 1, que valent Un et Vn en fonction de n et est-ce que ça converge ?

[Julien57160]

autant pour moi...

ça en prenant comme valeur U0=1 V0=1 ça diverge..

[Doraki]

Faudrait quel genre de coïncidence dans le calcul pour que ça diverge pas ?

[Julien57160]

que la suite tende vers 0 quand n tend vers l'infini c'est bien ça ?

[Doraki]

absolument pas.
Pourquoi ça diverge avec U0 = V0 = 1 ?

[Julien57160]

oui c'est vrai la il faut que la limite soit finie, pour que la suite converge.


U1= -13
V1= 22

U2= -41
V2= 64


... donc la limite n'est pas finie

[Doraki]

Euh montrer les deux premiers termes d'une suite n'est pas une preuve qu'une suite diverge ou converge.

Quelle est l'expression de Un et Vn en fonction de n ?