Fonction analytique

[Kiwii]

Bonjour,
A t-on: Une fonction est analytique ssi pour tout x0 il existe un voisinage de x0 tel que f(x) est égale au developpement en série de taylor en x0
?

[Arkhnor]

Bonsoir.

Oui, c'est la définition même de fonction analytique.

[Kiwii]

Donc si a est racine de f analytique,il existe n appartenant à N tel que la derivé n ieme de f en a soit non nulle. Car sinon f serait nulle dans un voisinage de a ce qui est en contradiction avec le th des zeros séparés.
?

[Arkhnor]

Oui, à moins bien sur que f soit identiquement nulle sur la composante connexe de a. (le principe des zéros isolés dit que les zéros d'une fonction analytique non nulle sur un ouvert connexe sont isolés)

[Kiwii]

merci,
est il possible de trouver une fonction C infini, qui soit nulle en 0, égale à 1 en 1, et dont toutes les dérivés en 1 et en 0 soient nulles? (donc une fonction non analytique)

[ffpower]

marche je pense ( en disant qu'elle vaut 0 en 0 et 1.. )

[Arkhnor]

Pour une fonction définie sur , on peut.

Par exemple, la fonction a toute ses dérivées nulles en 0. (le vérifier par récurrence).

Par du bricolage, on peut obtenir la fonction qui t'intéresses à partir de celle là.

[Kiwii]

non en fait il faut que la fonction soit égale à 1 en 1, à 0 en 0
que toute les dérivées soient nulles en 1 et nulles en 0.
Donc les fonctions proposées ne corespondent pas..

[Ben314]

Salut,
La fonction que tu cherche correspond au problème classique du "recollement C^oo".
Pour ton cas particulier, tu part de la fonction f définie sur R par :

On vérifie facilement que g est C^oo sur R (avec g(0)=g(1)=0)
Tu n'as alors plus qu'à considérer où ...

[Kiwii]

une telle fonction est elle forcement de cette "forme"?(l'integrale de l'exponentielle d'inverse)?

[Arkhnor]

Donc les fonctions proposées ne corespondent pas..

Je n'ai jamais dit que la mienne fonctionnait, mais qu'on pouvait construire la tienne à partir de celle que je propose ...

une telle fonction est elle forcement de cette "forme"?(l'integrale de l'exponentielle d'inverse)?

Non, bien sur que non, il y en a une infinités d'autres. Mais c'est cette forme qu'on prend en général.

[Kiwii]

peux tu m'en donner un exemple?

[Ben314]

Si tu as une fonction f C^oo dont toutes les dérivées sont nulles en 0 et qui pourtant est non nulle au voisinage de 0, c'est qu'elle croit extrèmement lentement (plus lentement que tout x->x^n).
Si on pose g(x)=1/f(1/x) cela signifie que g tend extrèmement rapidement vers +oo lorsque x->oo (plus vite que tout x->x^n).
Existe t-il beaucoup de telles fonctions ? Ben oui, il y en a une ENOOOORME infinité. Par contre parmi la petite dixaine de fonction dites "usuelles", ben grosso modo il y a que l'exponentielle qui vérifie ça.
Aprés, si tu préfère, tu peut prendre le cosinus ou le sinus hyperbolique ou bien la fonction x->x^x voire la fonction (x^x)^x comme fonction g qui tend trés vite vers l'infini quand x->oo.
Tu pose alors f(x)=1/g(1/x) pour x>0 et f(x)=0 pour x=<0 et tu as une fonction C^oo mais pas analytique en 0.

[Kiwii]

oui mais le cosinus hyperblique et le sinus hyperbolique sont des "formes déguisées d'exponentielle", en fait les seule fonction à divergence rapide sont les exponentielles et les fonctions construites à partir d'exponentielles?

[Arkhnor]

Non, ce ne sont pas les seules, il y en a une infinité, une ENORME infinité comme le dit si bien Ben314. Et c'est aisément imaginable, on voit très bien en imaginant le graphe d'une telle fonction qu'il y a une infinité de possibilités.

Le seul problème, c'est que trouver une formule explicite est plus délicat.
On doit certainement trouver, en cherchant loin, une formule qui n'utilise pas d'exponentielle, ni de près, ni de loin, mais c'est pas tellement intéressant.

[busard_des_roseaux]

bonjour,


les fonctions réelles que nous évoquons:


avec tous les nombres dérivés nuls en un point ,
qui ne sont pas somme de leur série de Taylor,
style

ont des applications en "distributions",
elles servent à construire des "partitions de l'unité"

c'est une somme , localement finie, sur un ensemble d'indices I qui peut être
non dénombrable, de fonctions à support compact
telle que


ces partitions servent à rendre une construction dans "locale"

[Arkhnor]

Les partitions de l'unité ont aussi pas mal d'applications en géométrie différentielle, en topologie, en analyse, ...

Les fonctions de ce style servent aussi à construire des noyaux régularisants pour la convolution.

Bref, tout ça n'est pas juste une petite amusette sur des fonctions biscornues, mais a de réelles applications.