Equation cubique

[prody-G]

Bonjour tout le monde !

Je bloque sur un exercice et je ne sais pas comment commencer, si vous pouviez me filer un petit coup de main ce serait sympa :

Montrer que pour tout p premier, l'équation possède une solution non nulle sur .

J'ai essayé de faire comme pour le cas quadratique, mais les histoires de cube c'est un peu plus compliqué...

Merci d'avance !

[Doraki]

Y'a plusieurs cas de figures, qui sont plus ou moins simples.

Si 1+X+X² n'a pas de racine dans Fp, alors tous les éléments sont des cubes, et c'est pas dur de terminer.

Si 1+X+X² a une racine (en fait, lorsque p = 1 mod 6), ça fait que Fp*^3 est un sous-groupe d'indice 3 de Fp* (qui contient -1).

Là il faut regarder dans quelles classes de Fp*/Fp*^3 sont 3,4, et 5.

Si y'en a 2 dans une même classe, c'est pas dur
Sinon, je sais pas.

[prody-G]

Merci pour ta réponse, j'vais regarder ces cas là.
Par contre pourquoi avoir considéré 1+x+x² ?

[Doraki]

Parceque la première chose à se demander c'est si la fonction x -> x^3 est bijective ou pas.

[prody-G]

ah oki ! c'est une factorisation.
Bref je te remercie, j'vais regarder tout ça !

[Doraki]

Bon le seul truc que j'ai trouvé pour la fin (p=1 mod 6)
le roupe Fp*/Fp*^3 est un groupe à 3 éléments (Z/3Z).
Donc parmi 1,3,4,et 5, y'en a deux qui sont dans la même classe, i.e. dont le rapport est un cube modulo p :

Si 4/3 = a^3, on prend (x,y,z) = (a,-1,0)
Si 5/4 = a^3, on prend (x,y,z) = (0,a,-1)
Si 5/3 = a^3, on prend (x,y,z) = (a,0,-1)
Si 1/3 = a^3, on prend (x,y,z) = (a,1,-1)
Si 1/5 = a^3, on prend (x,y,z) = (1,-1,a)
Si 1/4 = a^3, alors a est un carré, et 1/2 = b^3, on prend (x,y,z) = (1,b,-1)