Khôlle : Arithmétique modulaire

par **Nightmare** » 13 Juin 2010, 13:55

Salut,

examens terminés, je me remets aux khôlle (cela dit, il n'en reste plus que 2...). Voici celle de la semaine prochaine :

I] comme corps

Montrer que les propositions suivantes sont équivalentes :

- p est premier
- pour tout entier n non divisible par p, il existe un entier m tel que

II] Théorème Chinois

Soient des entiers premiers entre eux deux à deux.

Quels que soient les entiers , construire une solution au système :
.

III] Equations modulaire :

1) Trouver tous les entiers n tels que le produit de n par son successeur a pour reste 6 dans la division par 13

2) Trouver tous les entiers n tels que

3)* Montrer que pour tout n non nul, il existe x tel que

IV]Théorème de Wilson :

Montrer que p est premier si et seulement si

Amusez-vous bien.

par **benekire2** » 13 Juin 2010, 14:35

Salut !

I-

nm=1[p] nm-kp=1 ie p et n premiers entre eux, et comme c'est valable pour tout n, on en déduit que p est premier.

Bien sûr les kp ne sont pas inversibles, sans m'avancer je crois que tu as oublié d'écrire que c'était pour tout n distinct des

qu'il existait un m tel que ...

par **Nightmare** » 13 Juin 2010, 14:40

Oui bien entendu, n doit être non nul modulo p.

par **benekire2** » 13 Juin 2010, 15:13

Pour la II, les restes chinois je connais, par contre la IV- je connais juste de nom ^^

J'attaque la III dès demain !

par **benekire2** » 13 Juin 2010, 15:32

La première est de la III est facile comme on est dans Z/13Z , on a ( dans Z/13Z) x=2 ou x=10

par **benekire2** » 14 Juin 2010, 17:44

Salut :happy3:

J'ai résolu le IV, je poste la solution ce soir ( là je suis fatigué)

En revanche, ça peut paraitre bête, mais comment faire pour la 2 du III, du fait que 12 n'est pas premier ? Je sens le théorème chinois derrière, mais je ne vois pas comment faire ... désolé .

Merci !

par **Doraki** » 14 Juin 2010, 17:51

Tu peux toujours regarder pour chaque nombre de Z/12Z s'il vérifie l'équation ou pas.

par **benekire2** » 14 Juin 2010, 18:06

Doraki a écrit:Tu peux toujours regarder pour chaque nombre de Z/12Z s'il vérifie l'équation ou pas.

A ba oui, c'est vrai .. et du coup, l'équation n'a pas beaucoup d'intérêt ?

par **Doraki** » 14 Juin 2010, 18:21

Bah ça ne t'empêche pas de regarder si une meilleure méthode est possible.
Et puis si ça se trouve, en ayant les solutions sous les yeux, tu verras mieux le théorème chinois en action.

par **Nightmare** » 14 Juin 2010, 18:31

Bene > Quel est ton raisonnement pour II] et III] 1) ?

Pour III]2), elle est juste là pour mettre en évidence la "facilité" de la III]1)

par **benekire2** » 14 Juin 2010, 18:54

Bah, pour la III-1 on doit résoudre n²+n=6 dans Z/13Z donc on réécrit en :

(n-2)(n+3)=0 (toujours dans Z/13Z)

et donc là on est tenté de dire que l'un des facteurs est nul, mais faut faire attention, ici c'est valable bien parce que on est dans Z/pZ . En effet, considérons qu'il existe a et b différents de 0 tels que ab=0 cela implique que p divise ab, soi p divise a ou b, ce qui n'est pas possible.

Ainsi n=2 ou n=-3=10

Pour la 2, je me suis pas trop foulé, je me suis simplement souvenu d'un exo là dessus,

Voilà.

par **Nightmare** » 14 Juin 2010, 19:02

Ok pour III]1)

L'intégrité (= le fait qu'un produit de facteur soit nul si et ssi l'un des facteurs l'est) dépend-elle uniquement du caractère premier de p ou peut-on avoir un Z/nZ intègre sans que n soit premier?

par **benekire2** » 14 Juin 2010, 19:24

Je pense que il faut que n soit premier forcément. Pour le prouver, je dirais que si n n'est pas premier il suffit de "multiplier tout les diviseurs premiers de n" pour avoir quelque chose de congru a 0. Bref, c'est mal expliqué ...

par **ffpower** » 14 Juin 2010, 20:18

ca mériterait un peu plus de formalisation, mais c'est l'idée oui..

par **benekire2** » 14 Juin 2010, 20:28

donc la III-2 elle est considérée comme "résolue" ou pas ? Dans les deux cas, je pense que la méthode attendue est de "couper" 12 en produit de facteurs premiers et de recoller les morceaux grâce au théorème chinois.

L'ennui c'est que si je décompose c'est en 2*2*3 mais 2 et 2 ne sont pas premiers entre eux, je suis donc obligé d'écrire 12=4*3

L'enui c'est que Z/4Z n'est toujours pas intègre ..

PS: Pour la 3, comment fait-on ?

par **benekire2** » 16 Juin 2010, 13:10

J'y vais pour la IV :

Je traite le cas =>

considérons la liste 1,2,3,4,5,...,(p-1) [1] ( qui sort de (p-1)!)

enlevons 1 et (p-1) de cette liste, il reste donc un nombre pair de nombres dans la liste [2]

Montrons que pour tout x de cette liste il existe y tel que xy=1 dans Z/pZ .
Notons que si y existe alors il est forcément unique (trivial).
Ainsi, si l'on considère la liste ka avec a dans [1] et k fixe dans [2] il est facile de montrer que tout les ka sont distincts dans Z/pZ ainsi l'un de ces produits vaut forcément 1 et ce ne peut être k puisque k ne peut être égal à 1 . De plus ce ne peut être k(p-1) .

Chaque x de la liste [2] a son inverse dans cette même liste, et chaque "coupe" d'inverses est distincts. On a donc le résultat demandé.

Pour le sens réciproque j'y travaille.

Sinon, comment faire pour la III-3 ? Merci :id:

PS: J'avais eu un exo sur le théorème de Wilson, donc j'ai suivi le cheminement de l'exo ...

par **miikou** » 16 Juin 2010, 13:17

theoreme wilson

si p premier :

Z/pZ * est un groupe

pour tout x dans [1, p-2] l'inverse est aussi dans [2,p-2]
en effet (p-1)*(p-1) = p² -2p+1 = 1 [p]

donc (p-1)! = (p-1) [p]

si (p-1)! = p-1 [p]

on suppose p composer , p=n*m avec n,m differents de 1
(on constate aussi que n,m sont differents de p-1 forcement )

(p-1)! = (p-1)..m.. n .... 1 donc (p-1)! = k*p = 0 [p]

voila on a p premier <=> (p-1)! = p-1 [p]

par **Nightmare** » 16 Juin 2010, 14:02

Pour Wilson le sens direct est bon sauf peut être un manque de formalisme.

Une autre méthode que j'ai proposée mais un peu difficile à appréhender est d'examiner le polynôme

dans Z/pZ, je te laisse voir ce que tu peux en faire.

La III]3) n'est pas évidente. Premier indice que j'ai proposé : Décomposer n en

par **miikou** » 16 Juin 2010, 16:35

les deux sens sont bon ! et ne manquent pas de formalisme

par **Nightmare** » 16 Juin 2010, 16:37

miikou a écrit:et ne manquent pas de formalisme

La tienne non (heureusement), celle de Benekire, un peu (heureusement :lol3: )

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