Eléments d'ordre 5 dans A6

[Joker62]

Bonjour
Dans la preuve de : A5 est le seul groupe simple d'ordre 60 il est question à un moment d'éléments d'ordre 5 dans A6

L'auteur affirme qu'il y en a 144 soit 5 parmi 6 * 4!

Donc évidemment, on sait que dans Sn il y a p parmi n * (p-1)! p-cycles.
Le fait que ce soit des 5-cycles que l'on étudie, on est sûr qu'ils sont d'ordre p dans An.

Ma question est de savoir pourquoi n'y a-t-il que des 5-cycles qui soit d'ordre 5 ?

J'ai réussi à répondre au problème d'une autre manière en dénombrant le nombre de 5-sylow de A6 mais bon ça fait long dans un développement :/

Merci à tous :)

[Doraki]

Il suffit de regarder la décomposition d'une permutation en cycles disjoints.

L'ordre d'une permutation étant le ppcm de la longueur des cycles qui le composent, si tu veux un élément d'ordre 5, la permutation sera composée de points fixes et de 5-cycles, et rien d'autre.
Donc de A5 à A9, les seuls éléments d'ordre 5 sont les 5-cycles.
Pour A10, tu commenceras à voir les composées de 2 5-cycles disjoints, etc.

[Joker62]

Ahhh oki donc ce n'était pas propre à A6

Bon et bien parfait je te remercie Doraki ;)