Equation fonctionnelle/fonction à deux variables

[radia45]

Bonjour
Soit F:R²-->R F(x,) = f(x,y)+f(x-y) avec f: R-->R
On me demande de justifier que F est C² puis de calculer ses derivees partielles d'ordre 2 et d'en déduire enfin que f verifie une equa diff de la forme f"+cf=0

Je savais pas comment justifier que F est C² mais quand j'ai calculé les derivees partielles 2nde j'ai vu que condition de schwarz etait verifiee donc j'en ai deduit que F etait C² (mais je crois que ce sera compté comme faux puisque la question suggere qu'on doit pas faire comme ca)
Je trouve aussi que dF/dx² = dF/dy²
Mais je n'arrive pas à deduire que f verifie 1 equa diff de cette forme . :mur:

PS: Ceci est une partie d'un exercice qui a pour but de determiner toutes les solutions de f(x+y) + f(x-y)= 2f(x)f(y)

[girdav]

Bonjour,
je suppose qu'il manque une information sur : en l'état on ne peut pas dire grand-chose sur .

[radia45]

J'ai trouvé dans les premieres questions que f est paire et que f(0)=1 et f'(0)=0 .aussi f est une solution non constante de f(x+y) +f(x-y)=2f(x)f(y)

[girdav]

Qu'est-ce que tu as eu à démontrer concernant la dérivabilité de ?

[radia45]

Qu'est-ce que tu as eu à démontrer concernant la dérivabilité de ?

rien ..mais f est C²

[girdav]

Dans ce cas il faut invoquer les argument de stabilité des fonctions de classe : composition et somme.(pour montrer que est de classe )
D'ailleurs, ceci me fait penser que la définition de est plutôt .

[radia45]

ah oui F(x,y)=f(x+y)+f(x-y) (je me suis trompee)