Optimisation sous contraintes

[Garion]

Bonjour,

je rencontre un petit problème dans un simple calcule d'extréma de la fonction f(x,y)=(x-1)²+y² sous la contrainte g(x,y)=y²-x=0.

Donc j'ai fait la méthode du Lagrangien. J'obtiens les points critiques (1/2 , 1.2^(-1/2)) , (1/2 , -1.2^(-1/2)) , (0,0).
J'ai les réponses et ce sont les bons points donc jusque là il n'y a pas de problèmes. Mais par contre quand je calcule la Hessienne j'obtiens deux fois comme valeurs propres 2. Donc logiquement ces 3 points devraient être des minimums sous la contraintes mais dans la réponse on indique que (0,0) est un maximum. Comment est-ce possible?

Merci beaucoup :)
Bonne journée

Garion

[ToToR_2000]

Bonjour à toi,

Le point (x,y)=(0,0) (variable primale) associée à la variable duale lambda = 2 est effectivement solution du problème primal (en fait le couple ((0,0),2) est un point selle: je fais référence à la théorie de l'optimisation, pas à la "selle de cheval").
Pour autant,ça ne veut pas dire que c'est un minimum. Pour en être sûr, il faut regarder la hessienne du lagrangien qui vaut dans ce cas [[2 0]; [0 -2]]. donc le point n'est ni un max, ni un min mais un point selle (de cheval cette fois).
Au passage, dire que (0,0) est un maximum est absurde puisque ce problème n'en admet manifestement aucun.

[vingtdieux]

Aussi répondu sur l'ile des mathématiques..... :hum: