Exercice centrale : aie

[blabla13]

Bonjour,
J'ai un petit probleme pour résoudre cet exo de centrale tombé à l'oral l'année derniere... Je déteste ce genre d'exercices ! Tellement théorique que je ne comprends pas ce qui est demandé. Pourriez-vous me donner des indications ?

E un espace vectoriel euclidien. (e1,e2,...,en) une base de E

a) Montrer que Phi : E ->R^n , x-> ((e1/x),...,(en/x)) est un isomorphisme.
( (./.) produit scalaire)
Bon ça je pense avoir trouvé.

b) soit (f1..fn) une base de E verifiant
pour tout x appartenant à E, x = sum( (ei/x)*fi , i=1..n) (P)

calculer (ei/fj)

Et la... je ne comprends pas vraiment ce qu'on demande. Quel est l'interet de calculer ce produit scalaire ? en remplacant x par ei je trouve
(ei/fj) = sum( (ei/ek)*(fk/fj) , k=1..n)

Est-ce ce qui est attendu ?

Et enfin la derniere question :

c) montrer qu'il existe une unique base (f1...fn) verifiant (P)


Je suppose qu'il faut utiliser l'isomorphisme du 1, mais franchement, je suis perdue...

Merci d'avance

[alavacommejetepousse]

bonjour

pour 2 ce n'est pas par ei qu'il faut remplacer x mais par fj la 3 devient limpide alors

[Finrod]

c) montrer qu'il existe une unique base (f1...fn) verifiant (P)

On ne demande pas qu'elle soit orthonormée ?

[blabla13]

Merci pour vos reponses.

En remplacant x par fj j'aboutis à (ei/fj)=sum( (ek/fj)*(ei/fk) , k=1..n)

Mais rien ne devient limpide pour autant.

Sinon, il n'est pas précisé que (f1..fn) doit être orthonormée, sauf si le retour comporte des erreurs.

[Finrod]

Je ne vois pas l'utilité de la question 2.

En effet, elles ne sont pas orthonormé, c'est même essentiel.

Si tu prends deux bases (fi) et (f'i) qui vérifient ça. Alors les coordonnées de tous les vecteurs sont les même dans ces deux bases. LA coordonnée de x suivant fk est (ek|x).

Donc on vérifie que l'identité est un iso de l'esp muni de la première base vers l'esp muni de la seconde en passant par la question 1.

C'est un exo de formalisme. Un peu space.

[Ben314]

Salut,
Si tu veut mon avis, vu l'énoncé, seul la base de départ (e1,e2,...,en) est "connue" donc, lorsque l'on demande à la question b) de "calculer ", il faut que le résultat ne dépende que des ei et à la rigueur de la fonction Phi introduite précédement, mais surement pas des f? !!!
(Par exemple, l'étudiant qui écrit vaut... , bien qu'il ait répondu à la question et que sa réponse soit juste, ben je pense qu'il a 0 à la question !!!)

Comme par hypothèse, pour tout x de E on a x = sum( (ei/x)*fi , i=1..n) alors, en prenant x=fj, tu en déduit que fj = sum( (ei/fj)*fi , i=1..n)
Sauf que (f1,f2,...,fn) est une base donc il existe une unique écriture de fj comme combinaison linéaire de f1,f2,...fn qui est évidement fj=...
Donc, comme on a aussi fj = sum( (ei/fj)*fi , i=1..n), on en déduit que...

[blabla13]

Bonjour Ben314

Merci pour ton aide. Grace à toi je comprends un peu mieux l'esprit de l'énoncé...

Je déduis de ce que tu m'as expliqué que pour tout i différent de j (ei/fj) = 0 et (ej/fj) =1.

Pour la question c), je ne vois pas le rapport avec la b).... Si tu pouvais m'éclairer ce serait très sympa.

[Ben314]

Le rapport, c'est que maintenant que tu connait les pour tout i, cela siginfie que tu connait Phi(fj) et comme a la question a) tu as montré que Phi est bijective, ça ne laisse pas beaucoup de possibilités pour fj.

Evidement, il faut montrer que, si on prend pour les différents fj les images réciproques par Phi des différents (0,...,0,1,0,...,0) c'est bien une base et qu'elle vérifie la propriétée (P).

Indication : comme Phi est bijective, pour montrer que deux éléments de E sont égaux, il suffit de montrer qu'ils ont la même image par Phi...

[mathelot]

Bonjour

un vecteur quelconque a des coordonnées

si on définit l'application qui à
associe sa ième coordonnée
on s'aperçoit

i) que cette application est à valeurs dans R
ii) elle est linéaire

on parle d'une forme linéaire

il se trouve que cette application est aussi
si la base est o.n

ces applications linéaires , notée ou
selon les auteurs forment une base de l'espace vectoriel des
formes linéaires

exemple: un hyperplan de d'équation
3x+2y+5z=0 est le noyau d'une telle forme linéaire
si où
alors
est combinaison linéaire des ces formes "coordonnées" (c'est leur nom)

[mathelot]

après, tu as ce que l'on appelle un "crochet de dualité"

l'idée c'est de mettre en valeur , dans l'expression f(x),
où x est un vecteur et f une forme linéaire , la double linéarité,
l'une par rapport au vecteur x , l'autre par rapport à la forme

on écrit alors
f(x)= linéaire relativement à chaque opérande