Groupes - éléments mous

[tommaso]

Bonjour à tous,
Je suis confronté à un exercice sur les groupes que je n'arrive pas à résoudre. Si quelqu'un peut m'aider, ce serait très sympa! Merci d'avance!
Voici l'énoncé:
G un groupe.
x est un élément mou ssi pour toute partie A génératrice de G, A\{a} est encore génératrice de G.
Soit M l'ensemble des éléments mous.
Mq M additionné de l'élément neutre eG est un sous-groupe?

:cry:

[Ben314]

Salut,
Si je comprend bien ta définition, un élément est mou lorsque :
Pour toute partie , on a : génératrice => génératrice.

Sauf erreur, il suffit de vérifier "à la main" que est un sous groupe de :
1) par construction.
2) Si alors car la partie engendrée par un est la même que celle engendrée par donc est génératrice ssi l'est.
3) Si alors car, si est génératrice alors évidement l'est aussi or la partie engendrée par est la même que celle engendrée par .