Application linéaire

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Near
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Application linéaire

par Near » 10 Juin 2010, 12:40

salut :we:
soit
je veux trouver le noyau et l'image de f.
merci :we:



Finrod
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par Finrod » 10 Juin 2010, 12:42

Pose

écris f(P)=0

Identifie les coeff devant chaque puissance de X.

ça te donnera les équations du noyau.

Near
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par Near » 10 Juin 2010, 12:48

Finrod a écrit:Pose

écris f(P)=0

Identifie les coeff devant chaque puissance de X.

ça te donnera les équations du noyau.


merci "Finrod"
voila ce que j'ai trouvé,

les coefficients sont et

Finrod
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par Finrod » 10 Juin 2010, 12:58

Quand je disais "identifies", ça veut dire que tu écris que ce polynôme est nul donc tous ces coeffs sont nuls.
(deux polynômes sont égaux ssi tous les coeffs sont égaux. )

absolut-diabolik
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par absolut-diabolik » 10 Juin 2010, 13:03

ca revient à dire que, nan ? c'est une identification :doute:

Nightmare
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par Nightmare » 10 Juin 2010, 13:05

Salut !

, ceci simplifie assez les calculs pour le noyau

:happy3:

Near
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par Near » 10 Juin 2010, 13:06

merci :we:
maintenant comment je peux déterminer le noyau à l'aide de ces deux équations ?

Nightmare
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par Nightmare » 10 Juin 2010, 13:20

Avec ce que j'ai écrit, P est dans le noyau si et ssi (P/X)' est le polynôme nul, ie si et ssi P/X est constant et donc P est de la forme kX.

Avec ce que absolut-diabolik et toi avez écrit, on doit avoir donc pour tout i sauf pour 1 auquel cas il peut valoir n'importe quoi. P est bien de la forme

:happy3:

Near
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par Near » 10 Juin 2010, 13:41

Nightmare a écrit:Salut !

, ceci simplifie assez les calculs pour le noyau

:happy3:


désolé "Nightmare" mé je comprends pas ça :cry:

Finrod
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par Finrod » 10 Juin 2010, 14:07

absolut-diabolik a écrit:ca revient à dire que, nan ? c'est une identification :doute:


Utilise ça c'est la méthode standard. Tu obtiens alors pour i différend de 1 et finalement P=aX

L'astuce de Nighmare est un raccourci. Si f(P) = 0, il te fait remarquer que (P/X)' = 0 donc P/X est une constante soir P=aX

Nightmare
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par Nightmare » 10 Juin 2010, 14:11

Pardon, grossière erreur de ma part, on a plutôt donc sauf quelques éléments de rigueur :

1) Cela impose qu'on travaille là ou P est non nul, mais on s'en fiche un peu

2) On ne travaille plus dans R[X] mais dont son corps des fractions, c'est quand même à dire.

Ceci étant dit, P est dans le noyau de f si , qui impose que P² = 0 ie P=0 ou X/P constant donc P homothétie. (ouf, on retombe sur nos pattes)

:happy3:

Near
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par Near » 10 Juin 2010, 14:16

Okay "Nightmare" :id:
merci pour chacun de vous :we:
donc comment je peux faire pour l'image ?

Nightmare
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par Nightmare » 10 Juin 2010, 14:46

Pour l'image, on peut regarder les images des vecteurs de la base canonique. En particulier on remarque que , f(X)=0, l'image est donc engendré par la famille infinie (1,X^2,X^3,...)

 

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