Projecteurs

[Kalou94]

Encore un bug sur un exercice.. :/

Soient E un K-ev et (p,q) appartient à L(E) x L(E) deux projecteurs.
1) Montrer que :
p + q projecteur <=> p o q = q o p = 0

Je n'arrive pas à démontrer aucun des deux sens :/

[Arnaud-29-31]

Salut,

p et q sont des projecteurs donc p² = p et q² = q.

Le problème revient a chercher dans quels cas (p+q)² = p + q
Si on développe (p+q)² cela donne quoi ?

La réciproque est immédiate, en revanche il faut faire une petite bidouille pour montrer le sens direct.

[Ben314]

Salut,
Comme un élément f de L(E) est un projecteur ssi fof=f, tu as :
p+q projecteur <=> (p+q)o(p+q)=p+q
Si tu développe et que tu utilise le fait que pop=p et qoq=q, tu tombe sur une condition assez simple qui montre en particulier l'implication <=.

Pour l'implication =>, tu part de la relation trouvée çi dessus et tu l'applique à un élément x de im(p). En utilisant le fait que -1 n'est pas valeur propre de p, tu en déduit que q(x)=0 ce qui prouve bien que qop=0.

Edit : Grillé...

[Kalou94]

Merci,

J'arrive à partir du fait que q o p = p o q = 0 et de montrer p + q projecteur mais en revanche, je n'arrive pas à montrer l'autre sens :

p + q projecteur => p o q = q o p = 0.

[Finrod]

Par l'absurde, si est non vide, p+q vaut 2Id dessus.

edit: non nul*

[Kalou94]

x Im(p) => z1 E / x = p(z1).
x Im(q) => z2 E / x = p(z2).

Je vois pas bien ce qu'il faut faire avec les im :/

[alavacommejetepousse]

Par l'absurde, si est non vide, p+q vaut 2Id dessus.

l algebre lineaire encore plus que la nature a horreur du vide

[Ben314]

Vu que p et q sont deux projecteurs, tu as :
p+q projecteur (p+q)o(p+q)=p+q
pop+poq+qop+qoq=p+q
poq+qop=0 vu que pop=p et qoq=q

Cela montre déja que, si poq=qop=0 alors p+q est un projecteur.

Réciproquement, si p+q est un projecteur alors poq+qop=0 et, si on applique à un élément x de im(p) on a poq(x)+q(x)=0 vu que p(x)=x.
Cela signifie que p(q(x))=-q(x) et donc que q(x)=0 vu que -1 n'est pas valeur propre du projecteur p.
Le fait que q(x)=0 pour tout x de im(p) signifie bien que qop=0.
On montre de même que poq=0.

Concernant l'indic de Finrod, je vois pas trop : même si on montre que l'intersection de im(p) et de im(q) est réduite à {0}, cela ne prouve pas que poq=0...

Edit : pour que -1 ne soit pas valeur propre de p, il faut que le corps K soit de caractéristique différente de 2. Le résultat est faux en caractéristique 2.

[Kalou94]

Ok je situe mieux le problème !

merci :)