Oral capes interne

[antoine3617]

Bonjour,

Je bloque sur ce problème :
(d), (d') 2 droites sécantes en dehors de ma feuille.
A un point quelconque qui n'est ni sur d ni sur d'.
Le professeur Orthocentrus affirme qu'il peut tracer à l'équerre seule la droite passant par le point A et le point d'intersection des droites d et d' sans connaître ce point.
Comment a-t-il fait ?

Merci pour vos réponses.

[Ben314]

Salut,
C'est "un grand classique". Une des solutions est :
Tu construit avec ton équerre les projetés orthogonaux P et P' de A sur les droites (d) et (d').
Tu construit un peu plus loin une droite parallèle à (PP') (en utilisant deux fois l'équerre) et tu note Q et Q' les intersections de cette droite avec (d) et (d').
Enfin, tu construit la perpendiculaire à (d) passant par Q et la perpendiculaire à (d') passant par Q' puis tu note B l'intersection de ces deux droites.
La droite (AB) est la droite recherchée.
Je te laisse
1) Faire le dessin
2) Faire la preuve

[Finrod]

EDIT: la solution de Ben est quand meme plus classe. J'avoue, j'ai improvisé.


ça va tre dur de répondre sans dessin.

Tu traces la verticale passant par A, elle coupe d en B et d' en C.

Du cté où d et d' vont se coupe, tu note D l'intersection du bord de la feuille avec d et E avec d'.

Notons aussi d'' la droite passant par A et le pts d'intersection de d et d'.

Puis notons F le point d'intersection de d'' avec le bord.

On peut commencer. (joubliais, notons G le point concourant de d,d' et d''.

Si A est entre d et d', il faut appliquer thalès à ACG et EFG pour, connaissant AC/CB en déduire EF/ED

et tu peut placer F donc tracer AF qu iest la droite cherchée.

Sinon, tu peux aussi prendre comme seconde verticale, n'importe quoi d'autre que le bord de la feuille.

Je te laisse les autres cas, fonction de positionnement de A.

[antoine3617]

merci à vous pour ces réponses rapides.
Par contre, je trouve que ce n'est pas évident pour tout justifier correctement.

[benekire2]

Je déterre,

Il existe une solution beaucoup plus moche qui est toujours possible à la règle et au compas ( mais pas à la règle seule ) mais qui est longue :

Tu utilise une homotétie de rapport 1/2 et avec de la chance l'intersection "revient" à l'intérieur de la feuille. Sinon ... faut utiliser la méthode de ben ou Finrod. Il me semble qu'il existe aussi une méthode qui utilise l'espace.

[AceVentura]

A qui est dû cette construction ? C'est un théorème ?

[busard_des_roseaux]

sinon, l'idée , c'est de "voir" A comme un futur orthocentre,
d'un triangle dont le troisième sommet est situé hors de la feuille.
On projette donc A perpendiculairement sur d et d' en h et h'
de manière à obtenir deux hauteurs Ah et Ah' ...

[benekire2]

Je pense qu'il doit y avoir au moins 10 méthodes différentes, dont certaines , les plus élégantes, à la règle seule. On pourrait aussi rajouter comme question : Tracer la bissectrice de l'angle formé par les droites (d) et (d') .

@ Ace ventura

Je ne sais pas si c'est un "théorème" a proprement parler mais c'est un des grands classiques des constructions géométriques, comme par exemple le problème de Fagnano ( solution magnifique) ou le carré inscrit dans un cercle , ou plein d'autres !!

Une question : Y a-il un moment en prépa ou à la fac où l'on étudie de près les constructions géométriques, et de manière générale la "vraie" géométrie euclidienne ?

(Ou alors il y a des théorèmes super puissants qui rende inutile la géométrie euclidienne ... )