Limite

par **ludo56** » 21 Mai 2010, 15:25

Bonjour,

Il y a un théorème qui dit que f à une limite finie en a

si et seulement si f à la même limite à gauche et à droite de a . Pourtant je ne comprends pas très bien avec l'exemple suivant:
f:

-->

qui vaut 1 si x diffèrent de 0 et 0 si x=0.
La limite à droite de 0 vaut 1 ainsi que la limite à gauche et pourtant je ne vois pas trop quoi dire quant a la limite en 0..Le problème viendrait-il du fait que a

Df?
Merci d'avance!

par **Dihtbscii** » 21 Mai 2010, 16:05

Bien joué. C'est ton énoncé qui est faux :
La limite de f(x) quand x tend vers a existe si et seulement si les limites à droite et à gauche en p existent et sont égales à f(a).

En revanche si tu parles de limite épointée (ou limite par valeurs différentes) alors là c'est vrai :
La limite pointée de f(x) quand x tend vers a existe si et seulement si les limites à droite et à gauche en a existent et sont égales.

Les limites à droite et à gauche ne prennent pas en compte l'image de a par f, donc si on veut parler de limite il faut rajouter une condition sur f(a)

par **ludo56** » 21 Mai 2010, 16:13

Salut!
Je ne comprends pas ce que tu veux dire par limite epointée!

par **muse** » 21 Mai 2010, 16:22

tu es sur de ton theoreme?
Il y a la suivante sur la continuité "une fonction est continue en a ssi lim a gauche = limite a droite = limite en a"

par **ludo56** » 21 Mai 2010, 16:28

D'accord si j'ai bien compris on parle de limites épointe lorsque qu'on approche a par x avec x différent de a.
Oui ce théorème est juste sous la condition qu'on parle de limites epointe comme me l'a préciser Dihtbsci.
Merci

par **ludo56** » 21 Mai 2010, 16:36

J'ai trouvé une preuve de ce théorème à l'adresse suivante :http://www.capes-de-maths.com/index.php?page=lecons (leçon 58,théorème 2 page 3). Mais je ne comprends pas ou intervient l'hypothèse A n'appartient pas à D..
Sinon pour la fonction que j'ai donné précédemment,peut-on dire qu'elle n'admet pas de limite?
Merci!

par **jeje56** » 21 Mai 2010, 19:21

En fait, on cherche à "contredire" la définition :

Il existe epsilon=1/2 tel que pour tout a strictement positif, il existe x=a tel que |x-0| inférieur ou égal à a et |f(x)-f(0)|=|1-0| plus grand que epsilon...

Voir : http://maths-forum.com/showthread.php?t=105020

Lol ;-)

par **Dihtbscii** » 22 Mai 2010, 00:19

Il faut que tu regardes les bonnes définitions. (je vais parler du cas ou ta fonction est définie au point qui nous interesse)

Ta fonction n'admet pas de limite en 0
Avoir une limite en un point c'est être continue en ce point, c'est que les limites à droite et à gauche tendent vers la valeur de l'image du point considéré.

Avoir une limite à droite d'un point c'est que les images des points situés STRICTEMENT à droite tendent vers un nombre (qu'on appellera la limite à droite) quand les points tendent vers ton point :hum: (respectivement à gauche ...)
Ca ne fait donc pas intervenir l'image du point considéré ( 0 dans ton exemple).

Avoir une limite épointée ou par valeures différentes, c'est que les images des points différents de ton point tendent vers un nombre (qu'on appelle limite épointée) quand les points tendent vers ton point :hum:
Ca ne fait donc pas non plus intervenir l'image du point considéré

Sur ton exemple la limite a droite existe et est 1
la limite a gauche existe et est 1
la limite épointée existe et est 1
mais la limite n'existe pas.

J'écris les choses comme ça car je ne sais pas si tu as deja vu les définitions "propres" avec les epsilones. Si oui, alors tu trouveras facilement les definitions. Pour les limites à droite par exemple, on a
pour tout réel ;) > 0 il existe un réel ;) > 0 tel que pour tout x dans U tel que 0 < x - p < ;), on ait |f(x) - L| < ;).
Ici le point litigieux est le : 0 < x - p (strictement!!!) c'est ce qui fait qu'on ne s'interesse pas au point lui même.

par **ludo56** » 22 Mai 2010, 09:40

Dihtbscii: Merci j'ai bien tout compris! C'est quand même subtil je trouve,si tu n'avais pas pointé du doigts le problème,je pense que j'aurais galeré longtemps..

Jerome: J'ai l'impression que tu considère la limite épointée car tu dis que |f(x)-f(0)|=|1-0| pour tout x et donc x différent de 0 (sinon ça vaudrait 0).Mais dans ce cas la limite (épointée) existe et vaut 1 et on ne contredit pas la définition.

par **jeje56** » 22 Mai 2010, 10:17

Il suffit d'exclure x=a dans la déf... Pour tout x de Df différent de a...
http://site.voila.fr/jaimelesmaths/Capes/Lecon_58.pdf

par **jeje56** » 22 Mai 2010, 10:46

ludo56 a écrit:tu dis que |f(x)-f(0)|=|1-0| pour tout x et donc x différent de 0

Non, je dis "il existe" x...

Edit : j'annule mon post précédent...

par **ludo56** » 22 Mai 2010, 11:46

Oui je suis d'accord avec ton raisonnement.Ca montre que 0 n'est pas la limite en 0.
Dans le lien que tu m'as donné,la définition de limite est en fait la définition de limite épointée (il exclut a de Df).Si tu as pris la même définition que lui et que tu dis que la fonction précédente n'a pas de limite ,alors c'est faux (puisque la limite épointée est 1).

par **jeje56** » 22 Mai 2010, 12:05

Et bien justement, je n'ai pas pris la même déf que lui... Lol, je n'ai pas exclu le a dans la mienne ;-)

par **ludo56** » 31 Mai 2010, 11:59

Bonjour,je souhaite montrer que sinx/x tend vers 1 en 0 (x different de 0),sans utiliser les DL.
J'ai montrer l'encadrement suivant:
cosxPeut-on utiliser le théorème d'encadrement pour conclure? Ici,on parle de limite épointe puisque sinx/x n'est pas définie en 0,donc il faut regarder à droite et à gauche (j'utilise que la limite épointe existe ssi les limites a gauche et a droites existent).
J'ai sous les yeux une solution qui utilise le théoreme des gendarmes pour x strictement supérieur à 0 et qui utilise ensuite la parité de la fonction pour conclure..
Merci!

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