Exercice urgent d'endomorphisme

[fifi88888888]

Bonjour,
je dois faire cette exercice pour un dm, mais je n'arrive pas du tout à le résoudre, pouvez-vous m'aider ?

On note C^infini (R) l'ensemble des fonction réelles à valeurs réelles infiniment dérivables. (i.e. : telles que leurs dérivées k-ièmes soient dérivables sur R quelque soit l'entier naturel k).
On admettra aisément que (C^infini(R),+,.) est un R-espace vectoriel.
On considère l'application D définie comme suit :
D:C^infini(R) -> C^infini(R)
f -> D(f)=f '

où f ' désigne la fonction dérivée de f.
On admettra (encore aisément) que D est un endomorphisme de C^infini(R).

1)Supposons que l est une valeur propre de D, déterminer une base du sous-espace propre relatif à cette valeur propre l.
2)En déduire que la famille (x -> e^(l*x)) l appartient à R, est libre dans C^infini(R).

[gigamesh]

Bonjour,
soitune valeur propre ; déterminons l'ensemble des vecteurs propres associés à cette valeur propre.
Une fonction C-infinie est solution ssi.

Comment ça s'appelle déjà ce genre d'équations ? (du genre )

[fifi88888888]

Un équation différentielle...

Donc si j'ai f'=l*f
Ca veut dire que j'ai f'/f=l

et si j'intègre entre 0 et x ça me fait ln(x)=l*x donc x=e(lx). C'est ça ? Et ensuite comment je trouve une base du sous espace propre ?

[gigamesh]

Un équation différentielle...

Donc si j'ai f'=l*f
Ca veut dire que j'ai f'/f=l

et si j'intègre entre 0 et x ça me fait ln(x)=l*x donc x=e(lx). C'est ça ? Et ensuite comment je trouve une base du sous espace propre ?

Ouais, c'est une équa diff.
quand tu intègres ça fait n'oublie pas la valeur absolue et la constante
donc où ou bien ou K=0 ça marche aussi ;
et ainsi l'ensemble des solutions est la droite vectorielle de vecteur directeur (n'oublie pas qu'ici les vecteurs sont des fonctions)

[fifi88888888]

Ah okay merci beaucoup !

Et pour la deuxième question, il suffit de dire que puisqu'une base du sous-espace propre relatif à l est la droite vectorielle de vecteur directeur e(lx) alors forcément la famille (x ->e(lx) )est libre dans C ( puisque si c'est une base alors c'est libre ) ?

[gigamesh]

Euh c'est un peu plus sioux que ça.
x |-> e^(lx) est une base de la droite vectorielle des vecteurs propres de D associés à l.
Ce qui ne signifie pas que la famille de ces fonctions est une base de l'espace vectoriel des fonctions C infinies.

Utilise plutôt un résultat de ton cours : des sev propres sont en somme directe.