Recherche d'un état stable tout simple ...

[Galven]

Bonjour

Je suis en terminale es spé math, et je commence à réviser mon bac. Dans un exercice je dois trouver un état stable. La consigne :

Soit M la matrice de transition associée au graphe (c'est une matrice 2 x 2) :
(0,4 ; 0,6)
(0,35 ; 0,65)

Vérifier que l'état stable du système correspond à la matrice en ligne (70 ; 120)

Or j'ai recommencé 5 fois la question, et je trouve toujours comme état stable (7/19 ; 12/19)

Est-ce que quelqu'un pourrait essayer de faire cette question pour voir si ça vient de moi, auquel cas je détaillerai la façon dont j'ai procédé svp ?

Merci d'avance !

[Finrod]

Je savais pas qu'on faisait des chaines de Markov maintenant au lycée ...

La matrice de transition est donnée par le graphe

Donc pour trouver l'état stable ( qu'on devrait appeler mesure invariante),il faut prendre sa transposée A et résoudre AX=X.

On est d'accord ?

Bon ok, je vois. La solution n'est pas unique, c'est un espace de dimension 1.
Ta solution est bien proportionnelle à la solution de l'énoncé donc tu trouve le même espace (la même droite) solution.

Je me demande ou t'es allé chercher le 19...

[Galven]

Je n'ai jamais entendu le prof prononcer le nom Markov en tout cas ^^
Alors voilà comment j'ai procédé :

Soit X la matrice (a ; b) (avec a + b = 1) et M la matrice de transition :

MX = X

(0,4a+0,35b ; 0,6a+0,65b) = (a ; b)

On obtient deux équations :

0,4a+0,35b = a <=> 0,35b=0,4a
0,6a+0,65b = b <=> 0,6a=0,35b

Or a + b = 1
On a le système

(0,35b=0,4a
(a=1-b

Et donc avec ça je trouve b= 7/19 et a = 12/19

Edit : je viens de voir que tu as dit qu'il fallait sa transposée, tu pourrais préciser ce que c'est ? Soit je me rappelle plus soit je l'ai jamais vu en cours :s

Edit 2 : J'ai relu mon cours, et pour trouver l'état stable, il faut "chercher P tel que P = (a ; b) avec a+b=1 et P = PM " (M étant la matrice de transition, il n'est jamais question d'une transposition)

[gigamesh]

bonsoir,
oué il y a des chaînes de Markov (homogènes à temps discret) en spé maths ES.
Et des matrices aussi.

Et la transposée d'une matrice, c'est au programme aussi !!
Rappel : on dit qu'une matrice est symétrique ssi elle est égale à sa transposée ; c'est le cas en particulier des matrices de graphes non orientés...

La transposée d'une matrice nxp est une matrice pxn obtenue en échangeant lignes et colonnes.

p.ex la transposée de
1 2 3
4 5 6 (une matrice 2x3)

est
1 4
2 5
3 6 (une matrice 3x2).

Pour Finrod :

les états probabilistes sont des vecteurs lignes, donc la transition se fait en multipliant à droite par la matrice de transition.

Du coup en notant l'état au temps n, on a et

(suite géo... quoi déjà ?)

Pour Galven : l'état stable est P=(x 1-x)
PM=P se réécrit sous la forme d'un système de deux équations :
0,4x+0,35(1-x)=x
0,6x+0,65(1-x)=1-x

et ces deux équations ont la même solution (tu peux considérer cette phrase comme un théorème).

Cette solution est x=7/19 donc l'état stable est P=(7/19 12/19)

Tu peux aussi demander gentiment à ta calculatrice la puissance 30ième ou 50ième de ; tu retrouveras sur chaque ligne l'état probabiliste (en fait la suite des puissances de M converge vers la matrice 2x2 dont chaque ligne est égale à l'état stable).

Dernière chose : l'état stable est un état probabiliste donc la somme des coefficients doit être 1 ; ton (70 120) du début est très bizarre.

Ou alors on a un effectif total de 190 quelque part dans l'énoncé et on travaille avec des effectifs plutôt qu'avec des probas/fréquences, mais c'est pas l'esprit du programme.

[Finrod]

Pour Finrod :

les états probabilistes sont des vecteurs lignes, donc la transition se fait en multipliant à droite par la matrice de transition.

chaine de markov... oui.

Ce qui revient à prendre la transposé en regardant les proba comme des vecteurs colonnes.

Et merci oui gigamesh, le 19 vient bien de la normalisation pour trouver l'unique mesure de proba invariante.

[gigamesh]

Ce qui revient à prendre la transposé en regardant les proba comme des vecteurs colonnes.

Oui, bien sûr.
Mais c'est juste pas comme ça qu'on fait en TES.
Et peu de profs parlent de chaînes de Markov, d'une part parce que c'est pas quelque chose dont on entend beaucoup parler en études de maths (sauf si on fait des probas ou de la physique) et puis d'autre part parce que les objectifs sont très modestes : deux états, pas plus, dans un sujet de bac...

[Galven]

Merci pour vos réponses, donc c'est bien l'énoncé qui est incohérent ...

Je verrai aussi avec mon prof de math spé pour voir ce qu'il en pense.

Surtout que cet exo se trouve dans un annabac, alors je plains ceux qui l'ont eu au bac :S

[gigamesh]

Tu as la référence du sujet ?

[Galven]

J'ai relu l'énoncé et y'a bien un 190 qui trainait de dans en fait :we:

http://yallouz.arie.free.fr/bacannales/2006-France_M/2006-France_M.php

Exercice 2

Et après avoir relu, j'ai bien compris comment trouver l'état stable ... ^^

Désolé du dérangement :p

[gigamesh]

OK merci pour la référence.
bon en fait il suffisait de calculer (70 120) M et de trouver (70 120) !!!
(l'énoncé dit "vérifier que")

Bon courage pour le bac.