Quadrature du cercle

par **Gromlok** » 28 Mai 2010, 10:37

Bonjour tout le monde,

Je suis étudiant en 1ère régendat math à Jonfosse. Cette année, j'ai du présenter un atelier sur les quadratures (TRIREC, RECCAR) et depuis ce travail, je me suis penché sur la quadrature du cercle. Elle a été prouvée impossible à faire et je ne remet aucunement ça en question (bien que j'aimerai bien ) mais étant têtu, j'ai essayé de trouver la quadrature du cercle la plus exacte possible...

Après quelques nuits blanches plongé dans ce sujet passionnant, j'ai réussi à construire un carré de même aire qu'un cercle, à 1,77 x 10(-6) près... Cette construction marche pour tout cercle évidemment, en posant que le rayon est = 1u.

Puis j'ai fait quelques recherches sur le net sans résultat fructueux, et maintenant, je me retourne vers vous...

Quelle est la meilleure approximation de la quadrature du cercle?

Mon professeur de géométrie ne savait pas quelle était la meilleure approximation de nos jours, mais par curiosité, j'aimerai savoir si je suis loin de cette approximation ou pas. Sachant que je cherche une approximation qui sait se faire sur une feuille A4/A3... Donc pas des constructions à 96polygones svp (Sachant que mes constructions pour obtenir ce carré, sont au nombre de 8 allant du traçage d'un arc de cercle, à une perpendiculaire, donc rien de bien compliqué)

Merci d'avance pour vos réponses!

par **Doraki** » 28 Mai 2010, 11:13

Avec un quadrillage et une règle, je pense que le mieux qu'on puisse faire est de suivre le développement en fraction continue de racine(pi) pour en construire une bonne approximation.

Il se trouve que les 8 premiers termes (1 1 3 2 1 1 6 1) sont assez petits, donc en environ 16 coups de règles et avec un quadrillage d'environ 16 * 8, on peut construire une fraction (296/167) qui a une erreur relative de 7*10^-7 avec racine(pi)
(le terme d'après est 28, tout d'un coup il faut de la place)

Après, si on s'autorise un compas pour construire des racines carrées je sais pas trop comment approcher racine(pi) le plus vite possible.

par **Gromlok** » 28 Mai 2010, 11:49

Bonjour Doraki,

Déjà merci de ta réponse! Ensuite, oui pour les quadratures on a le droit à la règle (mais non graduée) et au compas ;)

Pour ta réponse, il y a un truc que je ne comprends pas trop : "les 8 premiers termes"... Les 8 premiers termes de quoi? De racine(pi)? Alors on a pas le même (pi) ;) Mais sinon je comprends bien le principe d'obtenir une fraction s'approchant de racine de pi! Maintenant, n'est-ce pas fastidieux de construire un segment de longueur 296/167? (Je ne sais pas, je n'ai pas tester, c'est juste une question :))

par **Doraki** » 28 Mai 2010, 12:01

racine(pi) = 1+1/(1+1/(3+1/(2+1/(1+1/(1+1/(6+1/(1+x))))))) où x est < 1.
En mettant x=0 là dedans on obtient l'approximation 296/167.
Et on peut construire ça sans avoir à mesurer des trucs gigantesques.

par **Gromlok** » 28 Mai 2010, 12:11

D'accord je comprends les 8 premiers termes...

Maintenant je viens de me dire que sans quadrillage, ça doit etre vraiment long de construire 296/167... Car j'essaie de retourner ça un peu dans tous les sens et franchement je vois pas de solution simple... Car si on prend pour base que le rayon du cercle est égal à 1, il faudra en construire du quadrillage! Car, sauf si je me trompe, ça doit être fait à partir de rien... Donc feuille blanche... Et là de suite, ça devient plus tendu, Car des 167ième, ça va etre long à tracer, sachant que 167 n'admet pas de petit diviseur...

Faut dire je ne connais qu'une façon de diviser un segment (avec les faisceaux de parallèle)... Mais si il existe une méthode plus simple que celle-là, alors là d'accord :)

par **Ben314** » 28 Mai 2010, 12:29

Oui, mais tu n'as pas du tout intérêt à construire 296/167 "ex nihilo", mais à le construire en disant que :
296/167 = 1+ 1/(1 +1/(3 +1/(2 +1/(1 +1/(1 +1/7)))))
Et la seule construction que tu utilise (5 fois) et le "tracage" d'un segment de longueur y=1/x connaissant un segment de longueur x :
Tu construit un segment de longueur 7 (c'est le plus long que tu utilisera), tu construit un segment de lonqueur 1/7, tu lui ajoute 1 pour faire 1+1/7, tu construit 1/(1+1/7), tu lui ajoute 1... etc

par **Gromlok** » 28 Mai 2010, 12:39

Ok je vois la méthode!

En attendant ça fait beaucoup de constructions (pas compliquées vu ton explication) mais beaucoup quand même :)

Surtout qu'après il faudra construire la racine de cette fraction, pour obtenir un carré de l'aire du cercle...

Merci en tout cas pour ton aide :)

par **Ben314** » 28 Mai 2010, 13:13

Gromlok a écrit:Surtout qu'après il faudra construire la racine de cette fraction, pour obtenir un carré de l'aire du cercle...

Ben non vu qu'on est parti du dévelopement en fractions continuées de racine(pi) et pas de celui de pi.

Si tu part de celui de pi, par exemple de
3+ 1/(7+ 1/16) = 355/113 proche de pi à 2.10-7 prés
puis que tu prend la racine, tu obtient une précision de 7.10-8

Mais, évidement, il faut tracer un segment de longueur 16=2^4 (donc 4 repport de longueurs à faire), un de longueur 7=2^3-1, faire deux "calculs" de 1/x et prendre une racine...

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