Calcul différentiel

[Aspx]

Bonjour,

Je suis bloqué sur un exo de calcul différentiel :

Dans un premier temps on démontre que différentiable (au sens de Frechet) implique dérivable selon tout vecteur et que le taux d'accroissement correspondant est égal à la différentielle au point considérée évaluée en le vecteur qui représente la direction :



Ensuite on veut montrer que dérivable selon tout vecteur implique pas différentiable avec un contre exemple. La fonction considérée est pour x,y non nuls :


Elle vaut 0 en (0,0).
On montre qu'elle est dérivable selon tout vecteur en étudiant le taux d'accroissement et on trouve que ce taux tend toujours vers zéro.

Maintenant il faut montrer qu'elle n'est pas différentiable. J'ai tenté pas mal de trucs genre ou , etc, ça n'a rien donné. Pareil avec un passage en polaire. La solution doit être plus simple que ce que je pense je passe vraiment à côté...

Merci d'avance!

[Finrod]

Comme le taux tend toujours vers 0, si elle est différentiable (par ex en 0) alors c'est un petit o de la norme. i.e. f(x,y)=o(||(x,y)||)

C'est surement ça qui doit coincer. Maintenant, je sais pas quelle norme ton exo utilise.

[Aspx]

Oui certes mais je vois pas comment avancer avec ça. Les normes sont équivalentes sur donc pas besoin de préciser.

[Finrod]

Ben le , ça donne un équivalent en en haut et en en bas.

Donc à priori ça tend vers + infini.

[Doraki]

, etc, ça n'a rien donné.

Ca aurait du :

[Finrod]

ha oui tiens moi aussi je me suis planté. mon 1+x² était mystérieusement équivalent à x² dans ma tête.

[Aspx]

Ca aurait du :

Parfait, je me disais bien que j'étais passé juste à côté!

Pour finir donc comme f est dérivable selon tout vecteur et qu'en plus le taux d'accroissement tend vers 0 on en conclu que .

Du coup :



En prenant on a la contradiction puisqu'alors