Milieux et alignement

[marine62]

Bonjour, voila mon exercice:

ABCD est un trapèze de bases [AB] et [DC] tel que AB=2DC.Les points I,J et F sont les milieux respectifs de [AC], [BD], [DC] et [AB] et K est le mileu de [Ij]. O est le point d' intersection des diagonales (AC) et (BD) . On considère le repère (A;vecteur AB; vecteur AD )

1) a-Déterminer les coordonnées des points A,A,C,D,E,F,I et J
b-En déduire les coordonnées du point K

2) Démontrer que K est le mileu du segment [EF]

3) a- Justifier qu' il existe deux reels k et k' tels que:
vecteur AO = k x vecteur AC et vecteur BO= k' x vecteur BD

b- A l' aide des deux relations précédentes, exprimer les coordonnées du point O en fonction de k puis de k'.
En déduire une relation liant k et k', puis determiner k et les coordonnées de O.

c- Montrer que les points E,O et F sont alignés

la question 3) a b et c je ne trouve pas si quelqu' un peut m' expliquer merci.

[bernie]

Bonjour,

pour avoir un repère classique, le mieux est de faire au brouillon un trapèze rect en A et non rect pour le prof. Enfin tu as trouvé les coordonnées ss pb semble-t-il. Je te donne mes réponses :(E milieu de [DC] je suppose?)

1) a-Déterminer les coordonnées des points A,A,C,D,E,F,I et J

A(0;0) - B(1;0) - C(1/2;1) -D(0;1) - E(1/4;1)-F(1/2;0)-I(1/4;1/2)-J(1/2;1/2)

b-En déduire les coordonnées du point K :

xK=(xI+xJ)/2 et idem pour yK donc K(3/8;1/2)


2) Démontrer que K est le mileu du segment [EF]

Le milieu de [EF] a pour abscisse (xE+xF)/2 et idem pour son y

donc milieu de [EF] : (3/8;1/2) qui sont bien les coordonnées de K.

3) a- Justifier qu' il existe deux reels k et k' tels que:
vecteur AO = k x vecteur AC

Les 2 vect AO et AC sont colinéaires donc il existe k tel que :

vecteur AO = k x vecteur AC (1)

Les vect BO et BD sont coli. donc il existe k' tel que :

vecteur BO= k' x vecteur BD (2)

b- A l' aide des deux relations précédentes, exprimer les coordonnées du point O en fonction de k puis de k'.

(1) donne : xAO=k*xAC (3) et idem pour yAO=k*yAC (4).

Or AO(xO-xA;yO-yA) soit avec O(x;y) on a AO(x-0;y-0) soit AO(x;y)

et AC(1/2;1)

x=k*1/2 et y=k*1 soit x=k/2 et y=k

BO(x-1;y-0) soit BO(x-1;y) et BD(0-1;1-0) soit BD(-1;1)

(2) donne :

x-1=k'(-1) soit x=-k'+1 et y=k'*1 soit y=k'


En déduire une relation liant k et k', puis determiner k et les coordonnées de O.

On a donc :

k/2=-k'+1 et k=k' qui donne : k/2=-k+1 donc k/2+k=1 soit k=2/3

c- Montrer que les points E,O et F sont alignés

Donc AO=(2/3)AC

Comme AO(x;y)

et comme AC(1/2;1) alors xO=(2/3)(1/2)=1/3

et yO=(2/3)*1=2/3 donc O(1/3;2/3)


c- Montrer que les points E,O et F sont alignés :

Tu cherches les coordonnées de vect EO puis EF par exemple et tu montres qu'ils sont coli. (ou tu peux prendre EO et EF).

Je te rappelle que :

2 vect u(x;y) et v(x';y') sont coli si x/x'=y/y' soit xy'-x'y=0

A+

[marine62]

d' accord merci je me remets au travail merci

[yvelines78]

bonjour,

A(0;0) , B(1; 0) ; D(0; 1) ; C(2; 1); f(1; 1)

I milieu de [AC], I(xc+xa/2; ya+yc/2)
I(1; 1/2)
J milieu de [BD], J(xd+xb/2; yd+yb/2)
J(1/2; 1/2)
K milieu de [IJ], K(xi+xj/2; yi+yj/2)
K(3/4; 1/2)

Comment est défini le point E?? E milieu de [AB] : E(1/2; 0)
si K est le milieu de [EF], K(xf+xe/2; yf+ye/2) tel que K(3/4; 1/2)
xf+xe/2=(1+1/2)/2=3/4
yf+ye/2=1+0/2=1/2

[marine62]

merci à vous 2 j' ai réussi mon exercice ! merci beaucoup