Equation récurrente linéaire 1er ordre

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snoopy28
Messages: 7
Enregistré le: 30 Jan 2009, 15:52

Equation récurrente linéaire 1er ordre

par snoopy28 » 23 Mai 2010, 22:58

A fond dans les révisions, j'aurais besoin de votre aide sur un exercice.

Il faut déterminer la solution des équations linéaires de récurrence. J'ai à peu près compris le principe (enfin je crois). Il faut chercher l'équation homogène associée, puis la suite générale de l'équation associée, la solution particulière de l'équation complète (si quelqu'un pouvait m'expliquer comment on la reporte dans l'équation complète car je comprends pas trop le principe), puis poser la solution générale de l'équation complète.
Avec l'exemple : Un+1 + 2Un = 3n² +6n + 4 sachant que U0=1, je comprend à peu près mais je bloque par exemple sur : Un+1-(1/3)Un - 2 = 0 avec U0=5
Je vois pas comment il faut faire...Je sais qu'il y a des histoires de résonances mais je comprends pas...

Si quelqu'un pouvait m'expliquer exactement comment faire, ça serait sympa. Merci d'avance



zephira
Membre Naturel
Messages: 83
Enregistré le: 04 Avr 2009, 20:04

par zephira » 24 Mai 2010, 10:55

ta suite Un+1 =(1/3)Un +2 est une suite arithmético géométrique. Pour trouver la solution générale dans le cas général :
Un+1 = aUn +b où a!=1 et b!=0

on cherche par translation à se ramener à une suite géométrique : On pose

vn = un + c

avec c quelconque, puis on démontre que (vn) est géométrique de raison a si et seulement si

c = -b/(1-a)

On trouve alors que

v(n) = v(n_0)*a^{n-n_0}

Puis, grâce aux relations entre un et vn, on obtient

u_n = (a^{n-n_0})*(u_{n_0}- r)+r

en posant

r =b/(1-a)

On peut remarquer que la valeur r est la seule valeur de u_{n_0} pour laquelle la suite est constante.

je te renvoi à :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Suite_arithm%C3%A9tico-g%C3%A9om%C3%A9trique

 

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