Autour des suites

[AceVentura]

Bonsoir,

plusieurs questions sur les suites.
1. Je cherche l'exemple d'une suite de nombres réels qui converge vers un réel qui est telle que converge également vers un réel ;

2. Je ne saisi pas pourquoi la suite est extraite de la suite et de la suite ;

3. Si une suite converge vers un réel , est-ce qu'il existe un rang tel que ;

4. J'ai essayer de remontrer les principaux résultats sur les opérations sur les limites, et je dois dire que j'y suis pas du tout ! Par exemple :
tend vers une limite
tend vers une limite

Limite du produit ?
A partir d'un rang , ;
A partir d'un rang , ;
C'est ici que je crains de dire des bêtises ! Je ne sais pas comparer de manière général et :hum: Puis-je écrire que et donc même si j'ai pas l'impression que ça fonctionne

Merci par avance !

[alavacommejetepousse]

u(n) = -1 doit convenir

[Mathusalem]

Salut,

U_2n+1 = u3, u5, u7, u9, u11, u13, u15, u17, u19, u21....
U_6n + 3 = u9, u15, u21........

2n+1 est la suite des indices impairs. 6n+3 est aussi toujours impair. Vu que 2n+1 exprime tous les impairs, alors il n'importe quelle sous-suite dont les coefficients sont impairs sera sous-suite de u_2n+1.

U_3n = u3, u6, u9, u12, u15, u18, u21, u24...
U_6n+3 = u9, u15, u21.....

6n+3, c'est comme prendre chaque terme de U_3n, doubler, puis rajouter +3, qui est un multiple de 3. Donc u_6n+3 est sous-suite de U_3n forcément.
Aussi, 6n+3 = 3n' = 3(2n+1).
Donc, chaque fois que l'indice n sera impair dans u_3n, cela constituera un élément de 6n+3.

Pour ta question 3.

Vu que la suite converge vers L, pour tout e > 0, il existe N entier positif, tel que pour tout n > N, |un - L| 0 blabla...
En particulier, posons e < |L-0|. Donc, à partir du rang n, un prendra ses valeurs dans [l-e, l+e]. Notons par définition de e, que [l-e, l+e]{0} = vide. Donc à partir d'un certain rang, un 0.
Remarque, tu peux faire le raisonnement avec n'importe quel réel. Si L n'est pas égal à x, alors il existe e < |L-x| tel que... etc

Je comprends pas le point 4.

A+
Math

[Doraki]

A partir d'un rang , ;
A partir d'un rang , ;

Et qui sont A et B ?
Le but est de montrer que pour tout C, (un*vn) = a et v = a >= 0 et v = a >= 0 et -v >= -b >= 0, donc
-uv >= -ab >= 0, donc
uv <= ab <= 0.

[AceVentura]

Désolé pour le manque de clarté. Je souhaite prouver que si et alors .

Donc :

.

Il faut prouver que :
.

Si et alors ?

[Doraki]

Oui : comme x est positif et que z >= t, on peut multiplier par x pour en déduire que xz >= xt.
Ensuite, comme t est positif et que x >= y >= 0, on peut multiplier par t pour en déduire que xt >= yt >= 0.
Donc on a bien xz >= xt >= yt >= 0.

[AceVentura]

Ok ! Donc finalement, il faut repartir sur une définition équivalente :
(1)
, et dans ce cas on prend de sorte que et donc bien .

(2)
Si c'est vrai sur tout , alors c'est vrai sur tout .
Si c'est vrai sur tout , alors soit A0).

On nomme C=AB<O, on a obtenue :
.

C'est la définition de tendre vers -l'infini !

[Doraki]

Oui c'est tout bon, sauf ton "on nomme C = AB < 0".

Il faut d'abord que tu expliques pourquoi pour tout C < 0, il existe A>0 et B<0 tels que C = AB. (bon c'est pas très dur)
Une fois que tu as ça tu peux faire marcher les définitions correctement, du genre :

On doit montrer que pour tout C < 0 il existe N tel que blablabla etc.
Soit C < 0.
Soit A > 0 et B < 0 tels que C = AB (à justifier, donc)
On utilise A et B dans (1) et (2), donc il existe N1 et N2 tel que blablabla etc.
On prend N = max(N1,N2), et on a blablabla etc.

[chbichib khaled]

1° U(n)= -3
2° car 6n+3=3(2n+1)
3° oui par définition

[AceVentura]

[quote="Doraki"]Il faut d'abord que tu expliques pourquoi pour tout C 0 et B0 tel que C=-x et donc avec A=x et B=-1, ça me semble bon ! Maintenant, si tu me demandes pourquoi un nombre strictement négatif s'écrit -1 fois un nombre strictement positif, je dois avouer ne pas savoir répondre.


Par ailleurs, pour en revenir à ma question 3 du message initial, je sais que où est l'application strictement croissante de dans définie par . C'est donc bien une suite extraite de la suite : je ne suis pas sur de la définition. Maintenant, en écrivant où est l'application strictement croissante de dans définie par , on montre bien que c'est une suite extraite de la suite également. Est-ce correct ?