Nombres complexes, petite question

[Magalie0011]

Bonjour,

J'ai juste une petite question.

Dans un exo, on me dit :
(F) l'ensemble des points M, distincts de A et B, d'affixes z telles que arg ( z - 2i / z - 1 ) = pi /2 .

L'item me dit (car c'est un QCM) : les points M de (F) décrivent un cercle sauf 2 points.

Moi je dis vrai mais dans la correction, on me dit que c'est faux. Je ne comprends pas pourquoi.



Une autre question : lorsqu'on me dit (OM,BM) = 0 modulo 2pi , qu'est ce que cela représente ? La droite (O qui exclu le segment [OB] ? Je ne vois pas trop en fait.



Merci de vos explications.

[Ben314]

Pour la première question, le lieu est "presque" un cercle, mais ce n'en est pas un :

Si on note A le point d'affixe 1 et B celui d'affixe 2i alors arg ( z - 2i / z - 1 ) = pi /2 signifie que l'angle orienté de vecteurs (MA,MB) = pi/2 modulo 2pi ce qui correspond à un demi-cercle de diamètre [AB] privé de A et B (le cercle complet privé de A et B correspond aux points M tels que (MA,MB) = pi/2 modulo Pi)


Pour l'autre question, c'est un peu la même chose :
Les points M tels que (OM,BM) = 0 modulo pi, c'est clairement la droite (OM) privée de O et de M (car (OM,BM) = 0 modulo pi ssi OM et BM sont colinéaires)
Mais, (OM,BM) = 0 modulo 2pi ssi OM et BM sont colinéaires et de même sens ce qui permet de voir que l'ensemble des tels points M est effectivement la droite (OM) privée du segment [OM].
De même, (OM,BM) = pi modulo 2pi ssi OM et BM sont colinéaires de sens opposé et l'ensemble des tels points M est le segment ouvert ]OM[.

[Magalie0011]

Ah ok ! J'avais pas du tout vu la nuance.
Merci beaucoup, maintenant c'est clair !