Application du produit scalaire, équation de cercle

[M2aa]

Bonsoir à tous, j'ai de nouveau un exercice à réaliser sur le produit scalaire mais cette fois-ci en trouvant une équation de cercle, et vos explications me seraient d'une grande s'il vous plait !

Voici l'énoncé :
Dans un repère orthonormal (O, i, j), on donne les points : A(1;2), B(9;-2), C(7;-4) et D(3;4).
Démontrer que les points A, B, C et D sont sur un même cercle dont on précisera le centre et le rayon !

Je voulais utiliser les différentes propriétés qui me permettent de découvrir une équation de cercle mais comme je ne connais ni le centre, ni le rayon, et ni le diamètre, je ne sais pas comment résoudre cet exercice ...

Pouvez-vous me donner quelques explications s'il vous plait...
Merci beaucoup

[Nightmare]

Salut !

En fait, 3 points étant toujours cocycliques, il suffit par exemple de trouver le cercle passant par A,B et C puis vérifier que D est bien dessus.

Pour trouver le cercle passant par A,B et C, je te propose deux méthodes :

1) On sait que l'équation de ce cercle est de la forme (x-a)²+(y-b)²=r² où (a,b) sont les coordonnées du centre, à déterminer, et r le rayon.

Pour trouver a,b et r, il suffit de dire que A, B et C sont sur le cercle, donc qu'on a (1-a)²+(2-b)²=r² , (9-a)²+(-2-b)²=r² et même chose pour C, ce qui nous donne une système de 3 équations à 3 inconnues que tu devrais pouvoir résoudre

2) Plus en adéquation avec le titre de ton message, je te propose de calculer le point d'intersection des médiatrices de [AB] et [AC] (par exemple) qui n'est autre que ... le centre du cercle (pourquoi?) Une fois ceci calculé, le reste est plutôt simple.

[M2aa]

J'ai calculé la médiatrice de [AB] mais je ne sais pas comment calculer celle de [AC]...*

Help ?

[Nightmare]

Ben, a priori de la même manière que [AB]... lorsque je parlais du titre de ton message, je t'invitais à traiter cette question à l'aide par exemple du produit scalaire.

[M2aa]

J'ai réussi ! Merci beaucoup !
Au revoir, et bonne soirée