Exercices sur les matrices à complèter ...

[romtherekins]

Bonjour,

Voilà l'exercice :

Endomorphisme o de l'espace vectoriel R(4) dont la matrice dans la base canonique est :

A = 2 2 0 4
0 0 0 0
0 1 -1 2
9 0 9 0

u = (2,0,0,9) et v = (2,0,1,0)

1) Calculer l'image par o du vecteur (a,b,0,0)

J'ai mis la matrice sous forme linéaire (2x+2y+4t , 0 , y - z + 2t, 9x + 9z)

Donc j'ai remplacé x par a, et y par b.

Ai-je bien fait de mettre 0 pour la 2ème ligne (je me suis dit endomorphisme donc de R(4) dans R(4) ...) ??

2) Calculer le rang de la matrice A avec la méthode du pivot

J'arrive à A = (1 0 0 0
0 0 0 0
0 0 1 0
0 0 1 0)

Donc j'en déduis rang de A = 2

3) (u,v) est-il une base de l'image de o ?

J'ai cherché Im o et je trouve -9x + 18z + 2t = 0 Est-ce bon ?

Donc u et v engendrent Im o et comme dim Im o = rang o = 2 c'est une base

4) Calculer la dimension du noyau de o

J'ai utilisé la formule dimKer o + dimIm o = dim R4

Donc dim Ker o = 2

5) Donner des équations indépendantes du noyau de o

J'ai pas trop compris cette question ... J'ai calculé Ker o j'arrive à y - z + 2t = 0 et x = -z je sais pas si c'est bon ??

6) Démontrer que Ker o inter Im o = 0

J'ai pris un vecteur de de Ker o inter Im o mais je ne trouve pas qu'il vaut OR4 surement une erreur dans le noyau ou l'image ?

7) Justifier que le noyau et l'image sont supplémentaires dans R4

La 6) permet de dire qu'ils sont en somme directe, comme dim Ker o + dim Im o = dim R4 alors ils sont supplémentaires pas de problème

8) Justifier qu'il existe une base de R4 dont les deux premiers vecteurs sont u = (2,0,0,9) et v = (2,0,1,0) et dans laquelle la matrice de l'endomorphisme o est :

(2 3 0 0
18 -1 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0)

J'ai pas compris :hein:

9) On note M la matrice (2 3
18 -1)

Calculer la trace, le déterminant et le polynome caractéristique de M

Trace : 2 - 1 = 1

Déterminant : -2 - 54 = -56

Polynôme caractéristique : -56 -x + x² ?

10) Calculer les valeurs propres de M

8 et - 7 ?

11) La matrice M est diagonalisable ?

J'ai mis que rang M = 2 et deux valeurs propres donc OUI

12) L'endomorphisme o est-il diagonalisable ?

Je n'ai pas réussi à calculer det A -xId ...


Merci d'avance pour votre aide :++:

[Arnaud-29-31]

Bonjour,

Pour l'image de o par le vecteur (a,b,0,0), il suffit juste de multiplier la matrice A par le vecteur colonne (a,b,0,0), (isomorphisme entre et ).

On doit bien trouver 2 comme rang.

La 3 se fait en une ligne ... (D'ailleurs je ne comprend pas trop ce que tu as fais)
Il est clair que la famille constituées des 4 vecteurs colonne de la matrice (dont les deux premiers sont u et v) constitue une famille génératrice de o.
Or on a dit que o était de rang 2 ... Donc ??

[romtherekins]

Salut !

Merci pour ton aide.

Pour la 1 on est d'accord donc c'est OK. Pour le rang OK.

Pour la 3 tu dis que la famille est génératrice composée des 4 vecteurs colonnes est génératrice mais il faut pas le démontrer ?

Sinon c'est vrai que ma solution de passer par le calcul de l'image est loin d'être astucieuse :--:

Peux tu m'aider pour la suite ? Ou quelqu'un d'autre ?

Merci encore :++: