Principe d'orthonormalisation

[goudou]

Bonjour à tous,

J'ai une petite question, ...

Le principe d'orthonormalisation de Schmidt permet de transformer une base d'un espace vectoriel euclidien en une base orthonormée.

http://www.bibmath.net/dico/index.php3?action=affiche&quoi=./s/schmidt.html
ici, tout est expliqué pour la méthode.

Cependant, je me demande, si l'on garde (e1,v2, ... , vn), peut on dire que cette base est orthogonale ?

[Nightmare]

Salut !

Oui, mais pas orthonormale. (Sauf si e1 est unitaire)

:happy3:

[goudou]

Merci, c'est ce que je pensais :we:

Par contre, je fais un exercice, et il y a un calcul que je ne comprends pas.
Voici le sujet :

Soit E un espace euclidien de dimension n, de base B=(e1, ... , en) et la fonction f:ExE->R définie par
f(X,Y)=x1y1+2(somme de i=1 à n)xiyi+ (somme pour 1<=i
1)Montrer que f est une forme bilinéaire symétrique sur E, puis donner sa matrice dans B
Jusque là, ça va !

2)Trouver une base orthogonale pour f dont e1 est la premier élément.

Ici, j'ai donc voulu appliquer le principe d'orthonormalisation de Schmidt.
On cherche donc (e1,v2, ..., vn), qui soit une base orthogonale.
On a v2=e2+lamba*e1
=0
<=> +lamba*=0
Comme =1, on a lamba=-.
Et là, le corrigé indique lamba=-1.
Je ne comprends pas pourquoi :triste: Ici, <> est bien le produit scalaire usuel, non ?

[Nightmare]

Pourquoi parler du produit scalaire usuel? on te demande une base orthogonale pour f. Donc il te faut remplacer ton produit scalaire par f. Dans ce cas, calcule f(e2,e1) et constante que c'est bien égal à 1.

[goudou]

Je ne comprends pas :/

On cherche bien v2, tel que v2 soit orthogonale à e1 ?
Donc, on peut dire que =0, mais ici, il s'agit du produit scalaire usuel.
Je ne vois pas pourquoi v2 orthogonal à e1 signifie que f(v2,e1)=0 ...

[Nightmare]

Je le redit alors, on te demande une base orthogonale et non pour le produit scalaire usuel !

C'est à dire qu'on veut que les vecteurs (u1,...un) de la nouvelle base vérifient deux à deux f(ui,uj)=0

[goudou]

Aaaaah mais oui, je suis bête ! Je me suis tellement focalisée sur ce principe d'orthonormalisation que j'en ai mis de côté la définition d'une base orthogonale !

Par contre, petite question ... Quand on cherche un vecteur vi, orthogonal à e1, vi s'exprimera toujours sous la forme vi=ei+lambda*e1 ?