Groupe des unités

[YLS]

Salut, je cherche à déterminer quelques groupes des unités...

- pour l'anneau des entiers de Gauss , j'arrive à trouver la forme de l'inverse de mais dans , c'est , ensuite pour voir lorsque ce nombre est encore un entier de Gauss, je trouve avec l'inégalité de Cauchy-Schwarz que et avec et . J'ai vu ce que je dois trouver comme groupe des unités sur wiki... est-ce que je vais dans le bon sens pour trouver les inverses, et comment continuer?

- pour l'anneau des nombres décimaux, je trouve que le groupe des unités est l'ensemble des puissances (quelconques) de 10, ie les avec , c'est correct?

Merci de votre aide.

[YLS]

Non en fait c'est bon, c'est pas difficile de comparer et quand et sont entiers...
Je veux bien confirmation quand même pour le groupe des unités des décimaux.

[yos]

2 , 5, 50 ... sont pourtant inversibles dans D.

[YLS]

Euh ouais en effet...
Mais si j'écrit , je vois pas quoi faire d'autre pour déterminer et , ou en tout cas voir si l'inverse d'un décimal est encore décimal...
Un indice? Thanks

[Doraki]

Ben si k/10^n est inversible, ça fait que k = 10^(n+n')/k' où n' peut être aussi grand que tu veux.
Ca veut dire quoi pour k ?

[YLS]

Euh je vois pas où tu veux en venir. k devient très grand? (en valeur absolue, selon le signe de k'). Mais il est fixé, c'est en fonction de lui que jveux trouver un inverse. Désolé je vois pas du tout le but de la manoeuvre, il faut aboutir à des conditions sur k?

[Ben314]

Salut,
Pour essayer de préciser la pensée de Doraki, le (trés) gros problème, c'est que tu manipule les décimaux uniquement à l'aide de la définition :
"x est décimal s'il existe une écriture fractionnaire de la forme "
et je me permet de te faire un petit rappel niveau collège : un quotient a toujours une infinité d'écritures fractionnaires. Par exemple est décimal car il existe une écriture de à savoir qui est de la bonne forme.

Tu as donc à mon avis deux solutions :
1) Tu cherche à quelle condition un sous forme irréductible est un décimal (le gros intérêt, c'est que la forme irréductible, elle, elle est unique)
2) Sinon, si tu considère qu'un décimal c'est un ben faut bien comprendre qu'il est pas forçément sous forme irréductible, donc que son inverse non plus et, qu'en conséquence, le fait que n'implique absolument pas que et que mais seulement que (c'est ce que l'on appelle "un produit en croix", ça te rapelle rien ?)

Par exemple, (, ) est inversible car et son inverse est ...

[YLS]

Salut Ben314, oui je me sers de la définition d'un décimal, et comme je le disais précédemment, je n'arrive pas à faire grand chose du produit en croix en question (et je n'ai jamais cherché à identifier les écritures fractionnaires non irréductibles...).
Partant de la forme irréductible d'un rationnel, je dirais que si et seulement si il existe tel que , car dans ce cas où le numérateur est bien un entier relatif.
On peut procéder de même pour l'inverse . Ca avance à quelque chose?

[Ben314]

C'est bien ça : p/q (irréductible) est dans D ssi q divise un 10^n.
Son inverse est q/p (aussi irréductible) est dans D ssi p divise un 10^n.

On peut être un peu plus précis en constatant qu'un entier divise une puissance de 10 ssi il est de la forme 2^i5^i' (en regardant la décomposition en nombres premiers)

On en déduit que x=p/q (irréductible) est dans D ssi q=2^i5^i' avec i,i' dans N
et qu'il est inversible ssi |p| est aussi de cette forme, ce qui signifie qu'en fait x=(plus ou moins)2^j5^j' avec j,j' dans Z.
Par exemple est un décimal inversible.

[YLS]

Ok, merci Ben314.
J'étais bloqué à l'écriture mais effectivement avec une décomposition en facteurs premiers on voit que est une puissance de et de , ce qui permet de déterminer "suffisamment" pour conclure l'exercice...


Euh sinon c'est plus trop dans le topic mais : pourquoi un morphisme entre 2 corps serait injectif? (c'est ce que l'exo demande de montrer sans autre hypothèse).
Avec ce morphisme, on peut écrire que pour tout , on a :


Je suppose qu'il faut combiner les deux lois pour que ça marche, j'ai essayé de développer ou d'autres expressions de ce genre mais ça ne me donne rien. Le problème est que si je suppose tel que , je n'arrive pas à trouver une expression qui fasse sortir le en dehors de .

[Ben314]

Oui, mais tu as oublié le plus important ici, c'est qu'on doit avoir .
Cela implique que pour tout non nul (donc inversible puisque l'on est dans un corps), on a ce qui assure que et cela prouve que et donc que est injective.

[YLS]

En effet... j'avais un peu "overlooked" cette propriété d'un morphisme d'anneaux. Je m'en souviendrai, pour le coup, thanks !

[Ben314]

En effet... j'avais un peu "overlooked" cette propriété d'un morphisme d'anneaux. Je m'en souviendrai, pour le coup, thanks !

ATTENTION, pour les morphismes d'anneaux, c'est beaucoup moins clair :
Si on est dans la catégorie des anneaux unitaires cela signifie que l'on impose aux morphismes de vérifier f(1)=1
Mais on peut aussi se placer dans le catégorie des anneaux point final (même si les anneaux que l'on manipule sont unitaires) et dans ce cas, un morphisme n'est pas obligé de vérifier f(1)=1.

Les deux point de vue sont utilisés en fonction du contexte. Pour préciser, certains auteurs (mais pas tous...) parlent de morphismes unitaires dans le premier cas.

Par exemple, si K et L sont deux corps, l'application x->0 de K dans L est un morphisme non injectif d'anneau (au sens non unitaire bien entendu)

[YLS]

Ok, merci de la précision, c'est intéressant (ça n'était pas précisé dans le cours que j'ai sous la main, qui considère implicitement tous les anneaux unitaires). Et évidemment je vois pourquoi un corps est toujours construit à partir d'un anneau unitaire (sinon pas d'élément neutre et pas de groupe pour la loi multiplicative...), et pourquoi l'ambiguïté ne tient que pour les anneaux.