Dérivée seconde de x^4

[babaz]

Bonjour,

Bien que je puisse la calculer, je ne comprends pas pour quelle raison la dérivée seconde de x^4 s'annule en 0, alors que cette fonction a le même profil que x^2 (décroissante pour x < 0, nulle en 0, puis croissante pour x > 0).
Dans le cas de la fonction x^2, la dérivée première ne fait que croître, puisque la dérivée seconde est égale à 2.
Pourquoi n'est-ce pas le cas de la dérivée seconde de x^4 ? x^4 croît lorsque x augmente, et l'on aurait donc pu supposer sa dérivée seconde constamment positive... enfin, il me semble...

Je vous remercie

[Ericovitchi]

la croissance/décroissance c'est la dérivée première qui la donne. la dérivée seconde représente plutôt la courbure de la fonction.

la dérivée première qui vaut 3x³ est un peu comme 2x la dérivée de x², elle est négative pour les x négatif puis positive donc les deux ont un peu la même allure (avec celle en x^4 plus écrasée sur l'axe des x au voisinage de 0 )


la dérivée seconde de x^4 (qui vaut 12x²) est effectivement toujours positive. Ca montre juste que la concavité de la courbe est toujours du même coté et qu'il n'y a pas d'inversion de courbure. x² aussi, la dérivée seconde vaut 2 est aussi toujours positive.

Autrement dit, à moins que je n'ai pas bien compris ta question, je ne vois pas bien ce que tu trouves d'anormal là dedans ?

[Doraki]

La dérivée seconde de x^4 n'est pas constemment positive, elle est seulement positive (elle passe par 0 mais elle n'est jamais négative).

Et que penses-tu de x^3 ?

Ce n'est pas la forme de la courbe qui dicte le signe des dérivées,
mais le signe des dérivées qui dicte la forme de la courbe.

Si f' > 0 alors la fonction est croissante.
Si f' < 0 alors la fonction est décroissante.
Si f' = 0, et si f'' > 0 alors la fonction a un minimum local
Si f' = 0, et si f'' < 0 alors la fonction a un maximum local
Si f' = 0, si f'' = 0, et si f''' > 0 alors la fonction est croissante.
Si f' = 0, si f'' = 0, et si f''' < 0 alors la fonction est décroissante.
Si f' = 0, si f'' = 0, si f''' = 0 et si f'''' > 0 alors la fonction a un minimum local.
Si f' = 0, si f'' = 0, si f''' = 0 et si f'''' < 0 alors la fonction a un maximum local.
etc.

[babaz]

Merci beaucoup pour vos réponses !

Si f' = 0, si f'' = 0, si f''' = 0 et si f'''' > 0 alors la fonction a un minimum local.

Avec x^4, il faut effectivement calculer la dérivée quatrième (= 24) pour "découvrir" - par les dérivées - que 0 est un minimum local...

Je n'avais pas l'habitude de remonter aussi haut... pouvez-vous m'expliquer pour quelle raison 'intuitive' (s'il y en a une) la dérivée seconde n'est pas suffisante lorsque les puissances de x augmente (x^4, x^5...) ?

Merci bcp!

[Doraki]

Intuitivement, tant que tu trouves des dérivées nulles, ça te dit absolument rien pour savoir si f croit ou décroit.
Si f a ses premières dérivées nulles, c'est pareil pour -f, donc tu peux pas en conclure quoi que ce soit qui départagerait f de -f.. qui serait vrai pour f et faux pour -f (comme la croissance, ou avoir un maximum local)

Ce sera la première dérivée non nulle qui permettra de départager et de conclure dans quel cas on est.