Équation différentielle à dérivée partielle

[sky-mars]

Bonjour !!!!

Je souhaiterai résoudre l'équation suivante mais je trouve un truc bizar :

Soit (E)





Alors l'équation quadratique me permet de savoir que c'est une équation hyperbolique.

posons et résolvons z=3 et z=2
on a : y=3x et y=2x

posons ensuite



Je calcul ensuite les dérivées de u et j'obtiens à la fin :


Alors
u (x,y)= f(y-3x) + g(y-2x)

Ensuite on me donne les conditions initiales suivantes:
et

Premiere condition

Deuxieme condition


Je dérive la 1ere condition :


mais bon ici mon problème est que f = g = 0 .....
Je doute que la solution soit ça ! je sais pas où est mon erreur
Est ce que vous pouvez m'aider s'il vous plaît ?
Merci

[Ben314]

Salut,
Tout d'abbord, je trouve tes "conditions initiales" trés trés louches : elles parlent toute les deux de la même chose, c'est à dire de la fonction u(y,0) (et de sa dérivée en y sauf que la dérivée en y de u(y,0) se déduit mécaniquement de la fonction elle même !!!)
Tu est sûr de ta deuxième condition ?

Ensuite, si c'est bien le cas, effectivement, dire que la fonction y->cos(omega y) a une dérivée nulle impose que omega=0 donc que u(0,y)=1 ce qui te donne comme seule condition initiale f(y)+g(y)=1 qui permet uniquement de dire que g(y)=1-f(y) et donc que u(x,y)= f(y-3x) + 1 -f(y-2x) où f est une fonction quelconque (de classe C2)

[sky-mars]

Voui voui monsieur
les conditions initiales sont bien les suivantes :



:'( bon l'interet de cet exo est inutile si c'est pour arriver à cette conclusion

[Ben314]

Perso, je voterais bien pour une "coquille" dans l'énoncé.

Il suffirait de dire que la deuxième condition initiale est (ce qui me semble "physiquement" cohérent) pour rendre l'exo. nettement plus interessant.

[sky-mars]

je pense que tu as raison, sa doit être une erreur dactylographique ....

du coup la méthode serait

-3 f' (y) -2 g ' (y) = 0

On dérive la première équation



Et là on se retrouve avec un système 2x2 à résoudre
on a alors :



->



Conclusion de l'exercice

[Ben314]

Effectivement, et ça parrait quand même plus joli qu'avec l'autre énoncé...

On peut même rajouter des questions "rigolotes" :
Pour x fixé, quelle est l'amplitude de la fonction (périodique) y->u(x,y) ?
Pour quel x est-elle maximale ? minimale ?