Formules

[julie1234]

Bonjour,

j'aimerais savoir si ce qui suit est à retenir par coeur ou bien est-ce qu'il y a un moyen, une méthode pour retrouver ces résultats ?

cos (2x) = 2 cos^2 x - 1

sin (4x) = 2 * cos (2x) * sin (2x)

sin a = (e^ia - e^-ia)/2i

[Ben314]

A mon avis, il faut savoir par coeur :
La "définition" : exp(ix)=cos(x)+i.sin(x)

Qui implique que exp(-ix)=cos(x)-i.sin(x) et donc que
exp(ix)+exp(-ix)=2.cos(x) et exp(ix)-exp(-ix)=2i.sin(x).
et je pense que, vu la longueur du raisonnement ci dessus, il vaut nettement mieux "apprendre par coeur" le raisonnement (trés simple) que la formule sans savoir d'où elle sort.

Il faut aussi savoir "par coeur" (mais c'est super facile) que
exp(i(x+y)) = exp(ix).exp(iy)

Qui implique que :
cos(x+y)+i.sin(x+y) = [cos(x)+i.sin(x)][cos(y)+i.sin(y)]
d'où, en développant, il vient que :
cos(x+y)=cos(x)cos(y)-sin(x)sin(y)
sin(x+y)=sin(x)cos(y)+cos(x)sin(y)
Mais, bien que ce soit trés court à retrouver, c'est pas con de savoir ces deux formules par coeur. Par contre ce qui est indispensable c'est de savoir "par coeur" comment on les retrouve, c'est à dire le petit calcul ci dessus.

Ensuite, en prenant y=x dans ces deux formules, on obtient :
cos(2x)=cos²(x)-sin²(x)=2cos²(x)-1=1-2sin²(x) car cos²(x)+sin²(x)=1
sin(2x)=2sin(x)cos(x)
Avec la même remarque que ci dessus : ça peut être utile de les savoir par coeur, mais c'est indispensable de savoir comment on les retrouve.

[julie1234]

Merci et peux-tu me dire pourquoi sin (5pi/6) - sin (pi/6) = 0 ? Comment on retrouve ce résultat ? Il faut le visualiser dans sa tête ou c'est à apprendre aussi ?

[Ericovitchi]

parce que sin (pi-x)=sinx
pour le visualiser il faut regarder sur un cercle trigonométrique ou est sin x et ou est sin (pi-x)

[Ben314]

Effectivement, je pense (comme Ericovitchi) qu'il vaut mieux "voir" les formules du type sin(pi-x)=sin(x) sur un cercle trigo plutôt que de les "apprendre par coeur", ça permet de bien mémoriser à quoi correspondent le sin et le cos sur le cercle.
Si tu veut t'entrainer, sans sortir ton cours mais uniquement avec un dessin de cercle trigo, essaye de retrouver comment écrire plus simplement le sinus et le cosinus de :
-x ; pi+x ; pi-x ; pi/2+x ; pi/2-x ; -pi/2+x ; -pi/2-x
Tu constate qu'au total, ça fait 14 formules qui risquent de servir dans les exercices et donc que de tout apprendre "par coeur", ça risque d'ètre chiant et... peu fiable...
Evidement, on peut déduire certaines de ces formules des autres formules ou bien utiliser mécaniquement les formules sin(x+y)=... et cos(x+y)=..., mais, avec un peu d'habitude, on peut aussi les "lires" direct sur le cercle et c'est le plus malin...

[julie1234]

Ah oui ! En fait 5pi/6 = 6 (pi-pi)/6 = (pi-pi)/6 = pi/6. OK Merci beaucoup !

Ah je n'avais pas lu ton message... En fait dans ma tête j'imagine l'axe des abscisses et j'imagine diviser l'angle pi qui fait 180° en 6 parties égales. Et je me dis que 5pi/6 forme un angle pi/6 par rapport à l'axe des abscisses (du côté des réels négatifs)... Je sais pas si c'est la bonne méthode de visualisation...

[julie1234]

Est-ce que quelqu'un peut m'expliquer pourquoi une primitive de sin 2x est - 1/2 cos 2x ?

[Ben314]

Parce que la dérivée de cos(2x) est -2sin(2x)...

[Ericovitchi]

redérives -1/2 cos 2x pour voir ?

(c'est un k cos u qui se dérive en -ku' sin u )

[julie1234]

f(x) = -1/2 cos 2x
f'(x) = 1/2 * 2 sin 2x = sin 2x

Le truc c'est que dans l'autre sens, pour trouver la primitive, c'est plus compliqué je trouve...

[Ericovitchi]

et ben voilà, donc - 1/2 cos 2x est bien une primitive de sin 2x

oui c'est plus compliqué de trouver les primitives que de dériver. Et encore là c'est un cas simple mais si on te mets devant des trucs plus compliqués comme sin²x cos x il faut avoir un peu d'intuition.

[julie1234]

A mon avis, il faut savoir par coeur :
La "définition" : exp(ix)=cos(x)+i.sin(x)

Qui implique que exp(-ix)=cos(x)-i.sin(x) et donc que
exp(ix)+exp(-ix)=2.cos(x) et exp(ix)-exp(-ix)=2i.sin(x).
et je pense que, vu la longueur du raisonnement ci dessus, il vaut nettement mieux "apprendre par coeur" le raisonnement (trés simple) que la formule sans savoir d'où elle sort.

Il faut aussi savoir "par coeur" (mais c'est super facile) que
exp(i(x+y)) = exp(ix).exp(iy)

Qui implique que :
cos(x+y)+i.sin(x+y) = [cos(x)+i.sin(x)][cos(y)+i.sin(y)]
d'où, en développant, il vient que :
cos(x+y)=cos(x)cos(y)-sin(x)sin(y)
sin(x+y)=sin(x)cos(y)+cos(x)sin(y)
Mais, bien que ce soit trés court à retrouver, c'est pas con de savoir ces deux formules par coeur. Par contre ce qui est indispensable c'est de savoir "par coeur" comment on les retrouve, c'est à dire le petit calcul ci dessus.

Ensuite, en prenant y=x dans ces deux formules, on obtient :
cos(2x)=cos²(x)-sin²(x)=2cos²(x)-1=1-2sin²(x) car cos²(x)+sin²(x)=1
sin(2x)=2sin(x)cos(x)
Avec la même remarque que ci dessus : ça peut être utile de les savoir par coeur, mais c'est indispensable de savoir comment on les retrouve.

J'ai relis le post de Ben et je ne comprends pas ce que j'ai mis en gras...

[julie1234]

En développant [cos(x)+i.sin(x)][cos(y)+i.sin(y)] on obtient : cos(x)cos(y)+sin(x)cos(y)+cos(x)sin(y)-sin(x)sin(y) mais comment identifier cos x+y et sin x+y ?

[Ericovitchi]

d'abord en développant tu as oublié les i
ensuite, tu identifies partie réelle et partie imaginaire des deux cotés
et si tu veux cos 2x ou sin 2x et pas cos (x+y) tu fais y=x dans la formule

[julie1234]

Ah oui merci beaucoup... Et pour l'autre partie que j'ai mis en gras : comment passe t-on de cos²(x)-sin²(x) à 2cos²(x)-1 ?

[Ericovitchi]

en utilisant cos²x + sin²x = 1 et en remplaçant donc cos² par 1-sin² ou sin² par 1-cos²

du coup cos 2x = cos²x - sin²x = 2cos²x-1 = 1-2sin²x
formules à vraiment savoir par coeur

[julie1234]

Ah oui je viens de comprendre ! Merci ! :++:

[julie1234]

Une dernière question... J'ai réfléchis (pourtant) mais je ne vois pas comment l'on peut déduire par rapport à ce qu'à écrit Ben que sin 4x = 2 * sin 2x * cos 2x... Peux-tu m'expliquer ?

[Ericovitchi]

pose 2x=y par exemple
sin 4x= sin 2y = 2 sin y cos y = 2 sin 2x cos 2x

[julie1234]

Je me doutais que c'étais quelque chose comme ça où il fallait remplacer un truc par un autre. En tout cas merci beaucoup pour ton aide ! :++: